মুখ্য Technische Mechanik

Technische Mechanik

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Dieser Band ist der vierte Teil des Lehrbuches ?ber Technische Mechanik f?r Ingenieurstudenten und Praktiker aller Fachrichtungen. Behandelt werden - Hydromechanik - Grundlagen der Elastizit?tstheorie - Statik spezieller Tragwerke - Schwingungen kontinuierlicher Systeme - Einf?hrung in die Stabilit?tstheorie - Viskoelastizit?t und Plastizit?t - Numerische Methoden in der Mechanik. Das Werk enth?lt zahlreiche durchgerechnete Beispiele, die das Verst?ndnis des Stoffes erleichtern. Band 1 behandelt die Statik, Band 2 die Elastostatik, Band 3 die Kinetik.
ক্যাটাগোরিগুলো:
খন্ড:
Band 4
সাল:
2006
সংস্করণ:
5. Aufl.
প্রকাশক:
Springer
ভাষা:
german
পৃষ্ঠা:
456
ISBN 10:
3540220992
ISBN 13:
9783540349938
বইয়ের সিরিজ:
Springer-Lehrbuch
ফাইল:
DJVU, 3.51 MB
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1 comment
 
Georg
Thanks a lot für dieses wunderbare Buch!
26 June 2017 (03:31) 

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1

Technische Mechanik

عام:
1992
اللغة:
german
ملف:
DJVU, 3.77 MB
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2

Solutions manual for Classical mechanics

عام:
2006
اللغة:
english
ملف:
PDF, 2.49 MB
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Springer-Lehrbuch

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross studierte Angewandte Mechanik und promovierte an der Universität Rostock. Er habilitierte an der Universität Stuttgan und ist seit 1976 Professor für Mechanik an der TU Darmstadt. Seine Arbeitsgebiete sind unter anderen die Festkörper- und Strukturmechanik sowie die Bruchmechanik. Hierbei ist er auch mit der Modellierung mikromechanischer Prozesse befasst. Er ist Mitherausgeber mehrerer internationaler Fachzeitschriften sowie Autor zahlreicher Lehr- und Fachbücher. Prof. Dr. Werner Hauger studierte Angewandte Mathematik und Mechanik an der Universität Karlsruhe und promovierte an der Northwestern University in Evanston/Illinois. Er war mehrere Jahre in der Industrie tätig, hatte eine Professur an der Universität der Bundeswehr in Hamburg und wurde 1978 an die TU Darmstadt berufen. Sein Arbeitsgebiet ist die Festkörpermechanik mit den Schwerpunkten Stabilitätstheorie, Plastodynamik und Biomechanik. Erist Autor von Lehrbüchern und Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften. *•,? IHBk'^HN Prof. Dr. Peter Wriggers studierte Bauingenieur- und Vermessungswesen, promovierte 1980 an der Universität Hannover und habilitierte 1986 im Fach Mechanik. Er war Gastprofessor an der UC Berkeley, USA, Professor für Mechanik an der TH Darmstadt und Direktor des Darmstädter Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen. Seit 1998 ist er Professor für Baumechanik und Numerische Mechanik sowie Direktor des Zentrums für Computational Engineering Sciences an der Universität Hannover. Er ist Mitherausgeber von 11 internationalen Journals und Editor-in-Chief der Zeitschrift Computational Mechanics.

D. Gross • W. Hauger • W. Schnell • P. Wriggers Technische Mechanik Band 4: Hydromechanik Elemente der Höheren Mechanik Numerische Methoden 5. Auflage Mit 213 Abbildungen Springer

Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Prof. Dr. Werner Hauger Prof. Dr. rer. nat. Dr.-Ing. E.h. Walter Schnell f Institut für Mechanik Technische Universität Darmstadt Hochschulstraße 1 64289 Darmstadt Prof. Dr.-Ing. Pete; r Wriggers Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik Universität Hannover Appelstraße 9a 30167 Hannover ISBN 3-540-22099-2 Springer Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993, 1995, 1999, 2002 and 2004 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satzherstellung mit BlßX: PTP-Berlin Protago-TeX-Production GmbH, Germany Umschlag: design & production GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3020hu - 5 4 3 2 1 0 -

Vorwort Der vorliegende vierte Band schließt das mehrbändige Lehrbuch der Technischen Mechanik ab. Behandelt werden in ihm die Grundlagen und wichtige Elemente der Hydromechanik, der Elastizitätstheorie, der Tragwerkslehre, der Schwingungen von Kontinua, der Stabilitätstheorie, der Plastizität und Viskoelastizität sowie der Numerischen Methoden in der Mechanik. Es handelt sich dabei um Gebiete, die vollständig oder einführend an vielen deutschsprachigen Hochschulen im Grundstudium gelehrt werden. Beispiele hierfür sind die Stromfadentheorie, spezielle Tragwerke wie das Seil und die Platte oder die Einführung in die Elastizitätstheorie und die Plastizität. In Teilen der einzelnen Kapitel schlägt der dargestellte Stoff aber auch schon die Brücke zum Fachstudium. Dies trifft unter anderem auf die Schwingungen von Balken und Platten, auf die Stabilität von Trag werken oder auf die Methode der Finiten Elemente zu. Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, für welche die genannten Gebiete gelehrt werden. Unser Ziel ist es, den Leser an das Verstehen der wesentlichen Grundlagen heranzuführen und ein solides Fundament zu legen, das ein tieferes Eindringen in die einzelnen Fachdisziplinen erleichtert. In diesem Sinn ist auch der Praktiker in der Industrie angesprochen, dem das Buch einen einfachen Einstieg in die entsprechenden Gebiete ermöglichen soll. Wie in den vorhergehenden Bänden haben wir uns um eine möglichst einfache aber präzise Darstellung des Stoffs bemüht. Diesem Anliegen dienen auch die zahlreichen durchgerechneten Beispiele. Sie sollen das Verständnis unterstützen und eine Anleitung zur Behandlung ähnlicher Probleme bilden. Die freundliche Aufnahme, welche dieses Buch gefunden hat, macht eine Neuauflage erforderlich. Wir haben sie genutzt, um einige Verbesserungen und Ergänzungen vorzunehmen. Wir danken dem Springer-Verlag für das Eingehen auf unsere Wünsche und für die ansprechende Ausstattung des Buches. Darmstadt und Hannover, im Herbst 2004 D. Gross W. Hauger P. Wriggers

1 Hydromechanik 1.1 Eigenschaften einer Flüssigkeit Die Hydromechanik ist die Lehre vom Gleichgewicht und von der Bewegung der Flüssigkeiten. Nach der Erfahrung unterscheiden sich Flüssigkeiten - und auch Gase - von den festen Körpern hauptsächlich dadurch, daß sie Formänderungen, die langsam und ohne Volumenänderung vor sich gehen, nur sehr geringen Widerstand entgegensetzen. Eine solche Formänderung erfährt zum Beispiel eine Rüssigkeit, die sich zwischen zwei Platten befindet, an diesen haftet und einer scherenden Belastung unterworfen wird (Abb. 1.1a). Das Verschieben der Teilchen gegeneinander erfolgt unter dem Einfluß von Schubspannungen (Abb. 1.1b) und dauert an, solange die Schubspannungen wirken. Eine Flüssigkeit ist daher ein Stoff, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Dies bedeutet insbesondere, daß in einer ruhenden Flüssigkeit keine Schubspannungen auftreten können. Die Schubspannungen hängen von der zeitlichen Änderung 7 des Winkels7ab:r = /(7).Dabeigilt/(0) = 0. Bei manchen Flüssigkeiten stellt man im Experiment einen linearen Zusammenhang T = r]-y (1.1) fest. Solche Rüssigkeiten nennt man Newtonsche Flüssigkeiten. Die GrößerjheißtdynamischeViskosität {dynamische Zähigkeit, Scherzähigkeit) und wird zum Beispiel in Ns/m2 angegeben. Sie ist ein Materialparameter und hängt u.a. von der Temperatur der Flüssigkeit ab. Wenn man den Schubversuch nach Abb. 1.1a mit einem elastischen Festkörper statt mit einer Flüssigkeit durchführt, dann stellt sich ein zeitunabhängiger Winkel 7 ein. Dabei gilt anstelle von (1.1) das Hookesche Gesetz (Band 2, Gl. (3.10)) r = G-y. Abb. 1.1 a

2 1 Hydromechanik In vielen Fällen ist es zulässig, die bei der Bewegung einer Flüssigkeit auftretenden Schubspannungen zu vernachlässigen. Dies stellt eine Idealisierung der wirklichen Vorgänge dar und vereinfacht die Behandlung von praktischen Problemen beträchtlich. Man spricht dann von einer reibungsfreien Flüssigkeit. Dagegen nennt man eine Flüssigkeit, bei der die Schubspannungen berücksichtigt werden, eine zähe (viskose) Flüssigkeit. Flüssigkeiten erfahren selbst unter hohem Druck nur eine sehr geringe Volumenänderung. Man kann sie daher bei fast allen praktisch wichtigen Vorgängen als inkompressibel betrachten. Dann ist die Dichte vom Druck unabhängig; sie kann aber bei inhomogenen Flüssigkeiten vom Ort und von der Zeit abhängen. Für homogene, inkompressible Flüssigkeiten ist die Dichte q räumlich und zeitlich konstant: const (1.2) Eine reibungsfreie Flüssigkeit mit konstanter Dichte nennt man ideale Flüssigkeit. Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, daß (1.2) gilt. Wie bereits erwähnt, setzen auch Gase einer scherenden Beanspruchung nur sehr geringen Widerstand entgegen. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten besitzen Gase aber keine freie Oberfläche. Sie füllen jeden ihnen zur Verfügung stehenden Raum - gegebenenfalls unter Änderung ihrer Dichte - vollständig aus. Die Dichte hängt dabei stark vom Druck und von der Temperatur ab. Die Erfahrung zeigt allerdings, daß die Dichteänderung in Sonderfällen auch bei Gasen gering sein kann und dann vernachlässigbar ist. Dies gilt zum Beispiel, wenn die Strömungsgeschwindigkeit des Gases klein gegen die Schallgeschwindigkeit im Gas ist und wenn keine großen Druck- und Temperaturunterschiede vorhanden sind. Dann kann man auch bei einem Gas die Dichte als konstant ansehen und das Gas wie eine Flüssigkeit behandeln. Strömungsvorgänge, die mit großen Volumen- bzw. Dichteänderungen verbunden sind, werden in der Gasdynamik untersucht. Das Unterscheidungsmerkmal zwischen Flüssigkeiten und Gasen wird durch den Begriff tropfbar charakterisiert. Als Oberbegriff für beide Aggregatzustände hat sich die Bezeichnung Fluid eingebürgert: tropfbare Fluide sind Flüssigkeiten, nicht tropfbare Fluide sind Gase. 1.2 Hydrostatik Die Hydrostatik ist die Lehre vom Verhalten ruhender Flüssigkeiten. Von besonderem Interesse sind hierbei die Verteilung des Drucks in ei-

1.2 Hydrostatik 3 ner Flüssigkeit sowie die Kräfte, die von einer Flüssigkeit auf in ihr schwimmende Körper oder auf sie begrenzende Flächen ausgeübt werden. Zu deren Ermittlung verwenden wir das Schnittprinzip (Band 1, Abschn. 1.4) sowie die Gleichgewichtsbedingungen. Beide gelten nicht nur bei festen, sondern auch bei flüssigen Stoffen. Da die Schubspannungen in beliebigen ruhenden Flüssigkeiten Null sind, gelten die folgenden Überlegungen gleichermaßen für reibungsfreie und für zähe Flüssigkeiten. 1.2.1 Druck in einer ruhenden Flüssigkeit Nach Abschnitt 1.1 treten in einer ruhenden Flüssigkeit nur Normalspannungen auf. Bei Vorgängen von technischer Bedeutung sind dies Druckspannungen. Sie können nach dem Schnittprinzip veranschaulicht und einer Berechnung zugänglich gemacht werden. Wir wollen im folgenden zeigen, daß die Druckspannungen in einem beliebigen Punkt der Flüssigkeit unabhängig von der Orientierung des Schnittes sind. Dazu denken wir uns dort einen kleinen Keil der Dicke Az aus der Flüssigkeit geschnitten; er ist in Abb. 1.2 in der Seitenansicht dargestellt. Der Winkel a ist dabei beliebig gewählt. Die auf die Schnittflächen wirkenden Spannungen sind im Bild als Druckspannungen eingezeichnet und mit p, px und py bezeichnet. Außerdem wird das Element durch eine Volumenkraft / mit den Komponenten fx, fy und /z belastet. Das Kräftegleichgewicht in x- und in y-Richtung liefert —>: pxAyAz — pAsAzcosa + fx-AxAyAz = 0, t: PyAxAz — pAsAzsina + fy-AxAyAz = 0. " l k ! \ n .._ -J- ^_ Abb. 1.2

4 1 Hydromechanik Mit Ax — As sin a und Ay = As cos a folgt daraus Px=P~ fxAx/2, pv=p- fyAy/2. Wir lassen nun das Volumen des Keils gegen Null gehen. Mit Ax —> 0 und Ay —► 0 erhalten wir dann Px = Pv = P ■ Mit Hilfe eines Tetraeders (vgl. Abschn. 2.1.1) läßt sich zeigen, daß insgesamt gilt: Px = Py = Pz = P (1.3) Die Druckspannung p nennt man kurz den Druck. Nach (1.3) ist in einer ruhenden Flüssigkeit der Druck in einem Punkt in allen Richtungen gleich. Diese Erkenntnis geht auf den Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623-1662) zurück. Somit hängt der Druck nur vom Ort ab: p = p(x, y, z). Er hat die Dimension Kraft/Fläche und wird in der nach Pascal benannten Einheit 1 Pa = 1 N/m2 oder in der Einheit 1 bar = 105 Pa angegeben (1 MPa= 1 N/mm2). Da in einer ruhenden Flüssigkeit keine Schubspannungen auftreten und die Normalspannungen nach (1.3) gleich groß sind, ist der Spannungstensor durch -p 0 0 0 -p 0 0 0 -p (1.4) gegeben (vgl. Abschn. 2.1.4). Ein solcher Spannungszustand heißt hydrostatischer Spannungszustand. Eine Flüssigkeit, auf die als einzige Volumenkraft die Schwerkraft wirkt, nennt man schwere Flüssigkeit. Um die Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit zu bestimmen, schneiden wir zunächst einen Zylinder (Querschnittsfläche A^4) mit horizontaler Achse (Abb. 1.3a) aus der Flüssigkeit (die vertikalen Kräfte sind im Freikörperbild nicht eingezeichnet). Aus der Gleichgewichtsbedingung pi AA — p?AA = 0 folgt, daß an den Stellen ® und © in gleicher Tiefe der gleiche Druck herrscht. Der Druck kann daher nur von der Tiefe abhängen. Um diese Abhängigkeit zu ermitteln, betrachten wir eine vertikale Flüssigkeitssäule (Querschnittsfläche A) nach Abb. 1.3b (hier sind die horizontalen Kräfte nicht eingezeichnet). Die Oberseite der Säule befindet sich an der Oberfläche der Flüssigkeit. Dort herrscht der Luftdruck po. An der Unterseite, d.h.

1.2 Hydrostatik 5 © © &A Abb. 1.3 J/ /)(/)/1 „ PO _-.!_-_r / — in der Tiefe z, gilt p = p{z). Mit dem Gewicht G — ggAz der Säule folgt somit aus dem Kräftegleichgewicht f: p{z)A-G-p0A = 0 -> p(z) =po + ggz (1.5) In einer schweren Flüssigkeit wächst demnach der Druck linear mit der Tiefe (Abb. 1.3c). Die Gleichung (1.5) kann auch dann zur Bestimmung der Druckverteilung verwendet werden, wenn mehrere Flüssigkeiten mit verschiedenen Dichten in horizontalen Schichten angeordnet sind. So herrscht zum Beispiel in der Trennfläche zwischen den beiden in Abb. 1.4 dargestellten Flüssigkeiten mit den Dichten g^ und g2 der Druck p\ = po + Q\gK und in der Tiefe z unterhalb der Trennfläche lautet der Druck p(z) = P\ + Qi9*- Nach (1.5) ist der Druck in einer schweren Flüssigkeit an allen Stellen gleicher Tiefe gleich groß. Somit ist der Druck am Boden eines Gefäßes unabhängig von der Gefäßform. Wenn die Bodenflächen A verschiedener Gefäße gleich groß sind (Abb. 1.5), dann wird - unabhängig vom jeweiligen Gesamtgewicht der Flüssigkeit -jeweils die gleiche Kraft F von der Flüssigkeit auf den Boden ausgeübt. Dies nennt man das Pas- calsche oder hydrostatische Paradoxon. --sz fii: ier p\z) --p, -^gz Abb. 1.4

6 1 Hydromechanik T h 1 Pc 3 Abb. 1.5 In den kommunizierenden Röhren nach Abb. 1.6a ist der Druck an den Flüssigkeitsspiegeln gleich dem Umgebungsdruck po. Daher stehen die Flüssigkeitsspiegel in den beiden Schenkeln des Rohres gleich hoch. Wenn die beiden Schenkel dagegen zum Beispiel an Druckbehälter angeschlossen sind und unterschiedliche Drücke pi und p2 and den Flüssigkeitsspiegeln herrschen, dann stellt sich ein Höhenunterschied Ah ein (Abb. 1.6b). Da der Druck im rechten Schenkel in der Höhe des linken Flüssigkeitsspiegels ebenfalls gleich p\ ist, gilt nach (1.5) die Beziehung Pi = p2 + ggAh. (1.6) Danach kann zum Beispiel bei bekanntem Druck p2 der Druck pi durch Messen des Höhenunterschiedes Ah bestimmt werden. Dies wird bei Flüssigkeitsmanometern angewendet. Mit einem Barometer mißt man den Druck in der Erdatmosphäre. Wenn der eine Schenkel abgeschlossen und die Luft oberhalb der Flüssigkeit entfernt worden ist (Abb. 1.6c), dann stellt sich nach (1.6) unter der Wirkung des Luftdrucks po ein Höhenunterschied Ah=™ Q9 ein. Der Druck po, der bei Verwendung von Quecksilber mit der Dichte q = 13,594 • 103 kg/m3 beim Normwert g = 9,80665 m/s2 der Erdbeschleunigung zu einer Höhendifferenz von Ah = 760 mm führt, wird Normalluftdruck genannt. Er ergibt sich zu p0 = 1,0132 bar = 1013,2 mbar = 1013,2 hPa (Hektopascal). In Wasser (g = 103 kg/m3) herrscht nach (1.5) in einer Tiefe von z = 10m der Druck p = po + 0,980665bar « 2p0. Er ist somit ungefähr doppelt so groß wie der Luftdruck. Bei einer hydraulischen Presse (Abb. 1.6d) wirken die Kräfte Fi und F2 auf die in die Schenkel eingepaßten Kolben mit den Flächen A\ und A2. Diese Kräfte erzeugen die Drücke pi und p2 an den Kolben. Bei praktischen Anwendungen ist meist gg Ah <€i pi,p2, so daß aus (1.6) näherungsweise

1.2 Hydrostatik 7 P-K Pa ~i_-i -_--; -- p-i '- P\ ~~ AftjT _^_~ -__ Pi -- Pa r i £| — 1 - — — --_- a Abb. 1.6 Pi b F2 A2 -t c Fl F2 dl A2 folgt. Wählt man zum Beispiel Ax 3> A2, so gilt Fi ~> F2, d.h., man braucht nur eine sehr kleine Kraft F2, um Ft das Gleichgewicht zu halten. Wir betrachten nun eine Flüssigkeit, auf die eine beliebige Volumenkraft wirkt. Zwischen der Volumenkraft / und dem Druck p besteht ein Zusammenhang. Um ihn herzuleiten, denken wir uns den in Abb. 1.7 in der Seitenansicht dargestellten infinitesimalen Quader (Kantenlängen da;, dy, dz) aus der Flüssigkeit herausgeschnitten. Da der Druck vom Ort abhängt, ist er auf gegenüberliegenden Flächen i.a. nicht gleich groß. So wirkt auf der linken Schnittfläche der Druck p und auf der rechten Fläche der infinitesimal geänderte Druck p + gf da;. Das Kräftegleichgewicht in a;-Richtung liefert pdydz + fxdxdydz (P+dxdX) dydz = 0 -> dp dx ■Jx » .t-t. h Abb. 1.7

8 1 Hydromechanik Wenn wir entsprechend auch das Kräftegleichgewicht in y- und in z- Richtung bilden, so erhalten wir insgesamt den gesuchten Zusammenhang dp _ dp _ dp dx~Jx' dy~h' dz (1-7) Mit Hilfe des Gradientenvektors (Band 3, Abschn. 1.2.7) kann (1.7) auch in der vektoriellen Form gradp = / (1-8) geschrieben werden. Die Punkte, in denen der gleiche Druck p = const herrscht, bilden Flächen, die man Niveauflächen nennt. Ein konservatives Kraftfeld ist aus einem Potential (potentielle Energie) Ep herleitbar: / = —grad Ep. Da / eine Volumenkraft ist, stellt Ep eine potentielle Energie pro Volumeneinheit dar. Durch Vergleich mit (1.8) erhält man einen Zusammenhang zwischen der potentiellen Energie der Volumenkraft und der Druckverteilung in der Flüssigkeit: P(x,y,z) = -Ep(x,y,z)+C. (1.9) Dabei ist C eine beliebig wählbare Konstante. Demnach sind die Flächen gleichen Drucks (Niveauflächen) identisch mit den Flächen gleichen Potentials (Äquipotentialflächen). Da der Gradientenvektor (1.8) normal zur Niveaufläche steht, ist diese (bzw. die Äquipotentialfläche) in einem Punkt orthogonal zur Richtung der dort wirkenden Volumenkraft. Bei einer schweren Flüssigkeit stellen diese Flächen horizontale Ebenen dar. Beispiel 1.1: Ein offenes U-Rohr enthält zwei sich nicht mischende Flüssigkeiten mit verschiedenen Dichten (Abb. 1.8a). Gegeben sindpo, ßi, /12 und Ah. Man bestimme Q2. 1 i I I f-' i 1 ml .*>■" Q b Abb. 1.8

1.2 Hydrostatik 9 Lösung: In der Flüssigkeit @ ist der Druck an der Trennfläche nach (1.5) durch p2 = po + Q2 9 /¾ gegeben. Der Druck in der Flüssigkeit ® an der Trennfläche stimmt mit dem im linken Schenkel auf gleicher Höhe herrschenden Druck pi — p0 + Qig{h2 - Ah) überein (Abb. 1.8b). Gleichsetzen der Drücke liefert Pi =P2 62 1 AM Beispiel 1.2: Ein Behälter mit Flüssigkeit (Dichte g) rotiert als Ganzes mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w um eine feste, vertikale Achse (Abb. 1.9a). Gesucht sind die Druckverteilung in der Flüssigkeit und die Form der freien Oberfläche. Abb. 1.9 Lösung: Wir führen die Aufgabe auf ein statisches Problem zurück und bestimmen die Druckverteilung aus den Volumenkräften nach (1.7). In radialer Richtung wirkt die d'Alembertsche Trägheitskraft /r = gru2 (Band 3, Abschn. 4.1), in vertikaler Richtung wirkt die Gewichtskraft fz = Q9 (Abb. 1.9b). Aus dp dr fr bzw. dp = fz folgt durch Integration p(r, z) = -Qu>2r2 + tp(z) bzw. p{r,z) = ggz + tß(r). Dabei sind (p(z) bzw. ip(r) zunächst unbekannte Funktionen von z bzw. r. Durch Vergleich der beiden Ausdrücke für p erkennt man, daß p{r,z) = 2eu} r + egz + C

10 1 Hydromechanik gilt, wobei C eine Konstante ist. Da bei dem gewählten Koordinatensystem (Abb. 1.9b) an der Stelle r = 0, z = 0 der Druck gleich dem Luftdruck po sein muß, folgt C = po. Die Druckverteilung in der Flüssigkeit ergibt sich damit zu p(r,z) =po + -guj2r2 + ggz. (a) In vertikaler Richtung nimmt hiernach der Druck wie in einer nichtrotierenden Flüssigkeit linear mit der Tiefe zu, in horizontaler Richtung steigt er mit dem Quadrat der Entfernung von der Drehachse. An der freien Oberfläche gilt p = p0. Damit erhält man aus (a) die Gleichung der Oberfläche: U!2 n z = -—rl. Die freie Oberfläche ist somit ein Rotationsparaboloid. 1.2.2 Auftrieb Wenn man einen an eine Federwaage gehängten Körper in eine ruhende Flüssigkeit eintaucht, stellt man an der Waage eine scheinbare Gewichtsverminderung fest. Sie entsteht dadurch, daß von der Flüssigkeit flächen- haft verteilte Kräfte auf den Körper ausgeübt werden, deren Resultierende vertikal nach oben gerichtet ist. Diese resultierende Kraft nennt man Auftrieb. Um den Auftrieb zu bestimmen, betrachten wir einen beliebig geformten Körper mit dem Volumen V, der zunächst vollständig eingetaucht sein soll. Wir denken uns den Körper aus vertikalen Elementarzylindern aufgebaut. Ein solcher Zylinder mit der Querschnittsfläche äA und der Höhe h ist in Abb. 1.10a dargestellt. Auf seine schräge Oberseite d^! bzw. Unterseite dA2 wirken die Kräfte pi dAx bzw. p2 dA2. Mit den Winkeln c*i und a2 gilt nach Abb. 1.10b der Zusammenhang dA = dAi cosai = dA2 cos a2. Damit erhalten wir die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft der Flüssigkeit auf den Elementarzylinder (positiv nach oben gezählt) zu dF& = p2 dA2 cos a2 — p\ dA± cos e*i —> dF/i = (p2 — pi)dA .

1.2 Hydrostatik 11 Abb. 1.10 a I Nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) gilt p<i — p\ = ggh, wobei Q die Dichte der Flüssigkeit ist. Mit dem Volumen dV = h dA des Zylinders ergibt sich daher dFA = ggdV. Die gesamte resultierende Kraft nach oben - d.h. der Auftrieb - folgt durch Integration über den Körper: -/ egdV. Da g und g konstant sind, erhält man daraus mit J dV = V schließlich v FA = ggV (1-10) Der Auftrieb ist somit gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Dieser Zusammenhang wurde bereits von Archimedes (287- 212) gefunden und wird daher Archimedisches Prinzip genannt. Die Wirkungslinie des Auftriebs geht wie die Wirkungslinie der Gewichtskraft durch den Schwerpunkt SF der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Um zu zeigen, daß die Horizontalkomponente der von der Flüssigkeit auf den Körper ausgeübten Kraft Null ist, denken wir uns den Körper aus horizontalen Elementarzylindern aufgebaut. Die Endflächen eines Zylinders mit beliebiger Orientierung befinden sich jeweils in gleicher Tiefe. Daher herrscht dort jeweils der gleiche Druck, und die in Richtung der Zylinderachse wirkenden Kraftkomponenten sind im Gleichgewicht. Somit ist auch die resultierende Kraft in beliebiger horizontaler Richtung Null.

12 1 Hydromechanik Der Auftrieb kann auch auf anschauliche Weise bestimmt werden. Dazu denkt man sich den Körper aus der Flüssigkeit entfernt und den von ihm vorher eingenommenen Raum (Volumen V, Oberfläche O) mit der Flüssigkeit selbst ausgefüllt. Da die Flüssigkeit in Ruhe ist, müssen die an der Oberfläche O angreifenden Flächenkräfte mit der Gewichtskraft G = q g V, deren Wirkungslinie durch den Schwerpunkt geht, im Gleichgewicht sein. Die Resultierende aus den Flächenkräften - d.h. der Auftrieb - ist demnach dem Betrag nach gleich dem Gewicht der Flüssigkeitsmenge, geht durch deren Schwerpunkt Sp und ist nach oben gerichtet. Da die an der Oberfläche O wirkenden Flächenkräfte nicht davon abhängen, welches Material sich im Innern von O befindet, gilt diese Aussage auch für einen eingetauchten Körper. Wenn der Körper nicht vollständig, sondern nur teilweise eingetaucht ist, dann ist der Auftrieb ebenfalls gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge und geht durch deren Schwerpunkt. Beispiel 1.3: Eine unten offene, zylindrische Taucherglocke (Querschnittsfläche A, Höhe h, Gewicht G) wird über ein Seil in einen See langsam nach unten gelassen (Abb. 1.11a). Dabei ändern sich Druck und Volumen der Luft in der Glocke nach dem Gesetz pV — const. In welcher Tiefe t ist das Volumen der Luft auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes abgesunken? Wie groß ist dann die Seilkraft? Pa t h ± Lösung: Wenn das Luftvolumen auf die Hälfte abgesunken ist, dann hat sich wegen pV = const der Druck verdoppelt, und die Taucherglocke hat sich bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt (Abb. 1.11b). Die Trennfläche V A^Jrcn 1 / l / Pa f\ ^§ä*S 2pf % Abb. 1.11

1.2 Hydrostatik 13 zwischen der Luft und dem Wasser befindet sich in der Tiefe t -t- h/2. Somit gilt p0+Qg(t+h/2) = 2po -> i =*"--£. Q9 2 Aus der Gleichgewichtsbedingung T: S-G+FA = 0 folgt mit der Auftriebskraft Fa — gg A h/2 die Seilkraft zu S = G-ggAh/2. Beispiel 1.4: Ein Träger ruht nach Abb. 1.12a auf zwei gleichen Schwimmern (Grundfläche A). Um welchen Winkel ist der Träger geneigt, wenn eine Last (Gewicht G) im Abstand a vom linken Ufer aufgebracht wird? I > , -4 l ;. " ^^7/ f. — - ■ - J IT" V-r Abb. 1.12 *> A Lösung: Wenn die Last aufgebracht wird, sinken die Schwimmer im Vergleich zur unbelasteten Ausgangslage tiefer ein. Wir betrachten im folgenden nur diese zusätzlichen Eintauchtiefen sowie die entsprechenden Kräfte.

14 1 Hydromechanik Wir denken uns den Träger von den Schwimmern getrennt. Die auf die Teilkörper wirkenden Kräfte sind im Freikörperbild Abb. 1.12b dargestellt. Aus den Gleichgewichtsbedingungen am Träger sowie an den Schwimmern folgt: B2: Bil-G{l-a) = Q -+ B1 = J—Ag. I *~\ -> B2=-G, Bx: B2l-Ga = 0 t: AFAl = £,, AFA2 =B2. Außerdem gilt nach der Archimedischen Auftriebsformel (1.10): AFAl=ggAAt1, AFA2=ggAAt2. Auflösen liefert die zusätzlichen Eintauchtiefen (l-a)G A aG A*i = ' TT • A*2 = TT ■ ggAl ggAl Daraus folgt der Neigungswinkel a (Abb. 1.12c): Ah - At2 . (/ - 2a)G sin öl = ; —► sin a — l ggAl* Beispiel 1.5: Ein homogener Stab (Länge l, Querschnittsfläche A, Dichte gs) ist an seinem Ende in B drehbar gelagert (Abb. 1.13a) und taucht mit dem anderen Ende in eine Flüssigkeit (Dichte gF > gs). Gesucht sind die Eintauchlänge x und der Neigungswinkel a. Abb. 1.13

1.2 Hydrostatik 15 Lösung: Auf den eingetauchten Stab wirken das Gewicht G = gsg Al, der Auftrieb Fa = QFgAx und die Lagerreaktion B (Abb. 1.13b). Aus dem Momentengleichgewicht r* l B'- G-cosa — Fa ( l — — j COS Q = 0 ergibt sich eine quadratische Gleichung für die Eintauchlänge: gsl2 - qfx{21 - x) = 0 -> x = l l-./l-^ V eF (a) Das positive Vorzeichen vor der Wurzel ist wegen x < l auszuschließen. Der Neigungswinkel folgt aus der Geometrie: sina = h —> sina = iji- QS/eF (b) Im Fall h = lJ\ — gs/gF nimmt der Stab eine vertikale Lage ein (sina = 1). Für h > iJl - gs/gF gilt ebenfalls a = 7r/2 (die Gleichungen (a) und (b) gelten dann nicht mehr). 1.2.3 Der schwimmende Körper Wir betrachten einen teilweise in eine Flüssigkeit eingetauchten, symmetrischen Körper mit dem Gewicht G, der in Abb. 1.14a im Schnitt dargestellt ist. Die von der x, y-Ebene aus dem Körper geschnittene Fläche A heißt Schwimmfläche. Damit der Körper in der dargestellten Lage Abb. 1.14

16 1 Hydromechanik schwimmen kann, müssen sowohl das Kräftegleichgewicht als auch das Momentengleichgewicht erfüllt sein. Das Kräftegleichgewicht lautet G-FA=0. (1.11) Der Körper taucht daher so tief ein, bis das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich seinem eigenen Gewicht ist. Wegen der vorausgesetzten Symmetrie liegen der Schwerpunkt Sk des Körpers und der Schwerpunkt Sf der verdrängten Flüssigkeitsmenge auf der z-Achse. Somit fallen die Wirkungslinien der beiden Kräfte G und FA zusammen, und das Momentengleichgewicht ist erfüllt. Um die Stabilität der Gleichgewichtslage in Bezug auf eine Drehung um die z-Achse zu untersuchen, betrachten wir eine um einen kleinen Winkel Aa gedrehte benachbarte Lage (Abb. 1.14b). Wenn wir mit dA ein Flächenelement in der Schwimmfläche mit dem Abstand y von der Drehachse bezeichnen, dann ist die Änderung AV des Volumens V der verdrängten Flüssigkeit durch AV = / y Aa dA = Aa ydA gegeben. Dabei ist die Integration über die gesamte Schwimmfläche zu erstrecken. Da die z-Achse eine Schwerachse der Schwimmfläche ist, gilt AV = 0. Somit ändert sich bei einer kleinen Drehung der Betrag der Auftriebskraft nicht. Dagegen verschiebt sich deren Wirkungslinie, da sich die Lage des Schwerpunkts der verdrängten Flüssigkeitsmenge ändert: der Punkt Sf geht in den Punkt S'F über. Dann bilden G und FA ein Kräftepaar mit dem Moment AM = AyFA. (1.12) Dieses Moment wird durch die verteilten Kräfte in den schraffierten Bereichen erzeugt: AM = yggdV. Mit dem Volumenelement dV = y Aa dA und dem Flächenträgheitsmoment Ix = J y2 dA folgt AM = ggIxAa. Durch Vergleichen mit (1.12) erhält man daraus AyFA = ggIxAa. (1.13)

1.2 Hydrostatik 17 Da zwischen dem Hebelarm Ay und dem Drehwinkel Aa nach Abb. 1.14c der Zusammenhang Ay = (e + hM)Aa besteht, ergibt sich mit Fa = 69 V aus (1.13) «M k v (1.14) Der Schnittpunkt der Wirkungslinie von FA mit der Geraden durch die Punkte Sp und Sk heißt Metazentrum M. Seine Lage wird durch die Höhe /im bestimmt. Wenn das Metazentrum oberhalb von SK liegt (hM > 0), dann bildet AM ein Rückstellmoment, und die Gleichgewichtslage nach Abb. 1.14a ist stabil. Befindet sich M dagegen unterhalb von SK(fiM < 0), dann ist die Gleichgewichtslage instabil. Als einfaches Beispiel betrachten wir ein in einer Flüssigkeit (Dichte 6F) schwimmendes, homogenes Brett (Länge /, Breite b, Höhe h, Dichte gB), das die Eintauchtiefe t hat (Abb. 1.15). Mit dem Gewicht G = 6Bglbh des Bretts und dem Auftrieb Fa — Qp 91 b t folgt nach (1.11) t h Ob Qf Da t < h sein muß, kann das Brett somit nur dann schwimmen, wenn seine Dichte kleiner als die Dichte der Flüssigkeit ist. Mit Ix = 163/12, V = l bt und e = {h - t)/2 erhält man aus (1.14) b2 1 ÄM=m-2(Ä_t)- An der Stabilitätsgrenze /im b2 =6t(h-t). 0 folgt daraus -I Abb. 1.15

18 1 Hydromechanik Bei vorgegebenen Werten von h und t ist die Gleichgewichtslage stabil für b2 > 6t (h- t) und instabil für b2 < 6t(h- t). Hieraus folgt zum Beispiel für t = h/2 die Bedingung b > y/3/2h für eine stabile Gleichgewichtslage. 1.2.4 Druck einer Flüssigkeit auf ebene Flächen Für viele praktische Anwendungen ist es erforderlich, die Kräfte zu bestimmen, die durch den hydrostatischen Druck auf Berandungen (Behälterwände, Staumauern, usw.) bzw. auf Teilflächen der Beran- dung (Lukendeckel, Klappen, Schieber) hervorgerufen werden. Wir beschränken uns dabei zunächst auf ebene Flächen. Zu diesem Zweck betrachten wir eine nach Abb. 1.16a um den Winkel a geneigte, ebene Teilfläche A, die sich vollständig unterhalb des Flüssigkeitsspiegels befindet. Für die resultierende Druckkraft F gilt F= fpdA. (1.15) A Wir wollen zunächst nur die von der Flüssigkeit allein erzeugte Kraft ermitteln, d.h., den vom Luftdruckp0 herrührenden Anteil nicht berücksichtigen. Dann gilt in der Tiefe z für den Druck p = gg z. Wenn wir ein x, y-Koordinatensystem gemäß Abb. 1.16a,b einführen, dann läßt sich dieser mit z = y sin a in der Form p = ggyslna schreiben. Einsetzen in (1.15) liefert (1-16) cl "dA 56 j F = gg sin a I y dA. b Abb. 1.16

1.2 Hydrostatik 19 Mit f ydA = ysA (Band 1, Gl. (4.9)) sowie ys sin a = zs folgt daraus F = gg zsA, und wegen ps = g g zs ergibt sich schließlich F = PsA (1.17) Die resultierende Kraft ist demnach gleich dem Produkt aus dem Druck im Flächenschwerpunkt und der Fläche. Die Wirkungslinie von F folgt aus der Bedingung, daß das Moment dieser Kraft bezüglich jeder beliebigen Achse gleich dem entsprechenden resultierenden Moment der Flächenlast p sein muß. Wenn wir die x-Achse als Bezugsachse wählen und den Abstand der Wirkungslinie von der x-Achse mit yD bezeichnen (Abb. 1.16a, b), dann erhalten wir fVd = J ypdA = ggsina / y2dA . Einsetzen von F nach (1.16) liefert _Jy2dA VD-J7dA- Führen wir das Flächenträgheitsmoment Ix — f y2dA und das statische A Moment Sx = f y dA ein, so ergibt sich daraus A Vd (1-18) Aus der Momentenbeziehung um die y-Achse FxD = J x p dA finden A wir entsprechend den Abstand xD der Wirkungslinie von der y-Achse zu St. (1.19) Dabei ist Ixy = — j xy dA das Deviationsmoment. Der Punkt D auf der A Fläche mit den Koordinaten xD und yD heißt Druckmittelpunkt. Wenn

20 1 Hydromechanik die y-Achse eine Symmetrieachse der Fläche darstellt, dann ist Ixy = 0, d.h., der Druckmittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Nach dem Satz von Steiner (Band 2, Abschn. 4.2.2) gilt Ix = IXs+VsA, wobei Ix das Flächenmoment bezüglich einer zur a>Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt S der Fläche ist. Damit folgt aus (1.18) Vd VsA Vs + VsA (1.20) Da Ix , ys und A positiv sind, gilt yD > ys. Der Druckmittelpunkt D liegt somit tiefer als der Schwerpunkt S. Wenn man den Luftdruck po berücksichtigt, dann ergibt sich die resultierende Kraft weiterhin aus (1.17). Für ps muß in diesem Fall der Druckps — po+gg zs eingesetzt werden. Die Wirkungslinie geht durch den Kräftemittelpunkt der von der Flüssigkeit allein erzeugten Kraft und der vom Luftdruck herrührenden Kraft p0 A. Die Wirkungslinie von p0 A geht dabei durch den Schwerpunkt S der Fläche A. Als Anwendungsbeispiel betrachten wir eine rechteckige Fläche (Höhe a, Breite b), deren Oberkante nach Abb. 1.17a horizontal verläuft. Mit dem Druck ps = ggzs = gg sin a(c + a/2) und der Fläche A = ab erhält man aus (1.17) die resultierende Kraft der Flüssigkeit auf die Fläche zu F = -ggsma (2c + a)ab. (1.21) 1 c 1 1 . 0 oJ 1 °° A \^b — J 'fl } > Abb. 1.17

1.2 Hydrostatik 21 Die Flächenmomente sind durch ba? ' n^2 I* = 12 + (c+|) ab, 5X= (c+|)a6 gegeben. Damit folgt nach (1.18) die y-Koordinate des Druckmittelpunkts zu Vd q2+3(2c + a)2 6(2c + a) (1.22) Die resultierende Kraft und die Lage ihrer Wirkungslinie können auch durch die Drücke pi und p2 an der Ober- und der Unterkante des Rechtecks ausgedrückt werden. Die Kraft F ist das Produkt aus der Trapezfläche, welche den Druckverlauf charakterisiert, und der Breite b (Abb. 1.17b): F=EL+£»a6. (1.23) Der Abstand d der Wirkungslinie von der unteren Kante ist durch den entsprechenden Schwerpunktabstand der Trapezfläche (vgl. Band 1, Ab- schn. 4.3) gegeben: a2pi +p2 3 P1+P2 (1.24) Beispiel 1.6: Man bestimme die resultierende Kraft und ihre Wirkungslinie auf eine kreisförmige Luke (Radius r) in einer vertikalen Wand eines oben offenen Behälters (Abb. 1.18a). —fy Abb. 1.18 Lösung: Da der Atmosphärendruck sowohl von innen (über die Flüssigkeit) als auch von außen auf das Fenster wirkt, braucht er nicht berück-

22 1 Hydromechanik sichtigt zu werden. Mit dem Druck ps = gg t im Schwerpunkt und der Kreisfläche A = n r2 erhalten wir nach (1.17) F = irggtr2 . Das Flächenträgheitsmoment und das statische Moment bezüglich der x-Achse sind durch TT r + irr t , Sx = ysA = tt11 gegeben. Damit folgt aus (1.18) I r2 Der Druckmittelpunkt D liegt somit um e — r2/(4i) tiefer als der Schwerpunkt S (Abb. 1.18b). Beispiel 1.7: In einem oben offenen Behälter der Länge & wird durch eine homogene, starre Platte (Gewicht G) eine Flüssigkeit (Dichte g) auf zwei unterschiedliche Spiegelhöhen eingestellt (Abb. 1.19a). Die Platte ist längs ihrer Unterkante A gelenkig gelagert (abgedichtetes Scharniergelenk) und wird an der Oberkante durch ein horizontales Seil im Gleichgewicht gehalten. Man bestimme die Lagerreaktionen im Scharniergelenk und die Seilkraft. /),/31 ' / Qgh, S \ 1 \ Qgh /),/3 Abb. 1.19

1.2 Hydrostatik 23 Lösung: Wir schneiden die Platte frei. Die auf sie wirkenden Kräfte sind im Freikörperbild Abb. 1.19b dargestellt. Der Atmosphärendruck p0 wirkt auf beiden Seiten der Platte und braucht daher nicht berücksichtigt zu werden. Die Drücke faßt man zweckmäßigerweise zu ihren Resultierenden Fi = gg ^-{hib) bzw. F2 = gg^ih^b) mit den Abständen hi/3 bzw. h2/3 vom Scharniergelenk zusammen. Dann liefern die Gleichgewichtsbedingungen A: F^-F^ + Sh-O -> S £«■ ■*?). t : Av-G = 0 -> : Fi - F2 + AH + S = 0 -> Av =G, -> AH = ^\m{hl-h\)-{hl-h\)). Die Kräfte .A# und Av sind über die Länge des Scharniers verteilt. Beispiel 1.8: In Abb. 1.20a ist eine Vorrichtung zur Regelung des Wasserstands im Behälter ® skizziert. Sie besteht aus einer in C drehbar gelagerten quadratischen Platte BC, die über den Hebel CD und ein Seil (Länge /) mit einem zylindrischen Schwimmer (Grundfläche A, Gewicht G) verbunden ist. Die Gewichte von Klappe, Hebel und Seil werden vernachlässigt. -1 4t Abb. 1.20

24 1 Hydromechanik Bei welchem Wasserstand h = hi ist das Seil gerade gespannt? Für welches h = /i2 öffnet sich die Klappe? Lösung: Wir bezeichnen die Eintauchtiefe des Schwimmers mit t (Abb. 1.20b). Das Seil ist dann gerade gespannt, wenn die geometrische Beziehung h = a + l + t (a) erfüllt und die Seilkraft dabei Null ist. Bei verschwindender Seilkraft muß nach (1.11) die Gewichtskraft G mit der Auftriebskraft Fa = ggAt im Gleichgewicht sein: Q G-FA = 0 -> t = . (b) Q9Ä Einsetzen von (b) in (a) liefert den Wasserstand Q hi=a + l+ . (c) QgA Die auf den Schwimmer und auf die Klappe wirkenden Kräfte sind in Abb. 1.20b dargestellt. Die resultierende Druckkraft auf die Klappe ergibt sich aus der gleichförmigen Druckverteilung gg(h — a) unter Beachtung der Tatsache, daß sich die linearen Anteile aufheben: F = gg(h — a)a2 . Die Klappe öffnet sich, wenn die Lagerkraft B Null wird. Das Kräftegleichgewicht am Schwimmer und das Momentengleichgewicht bezüglich C liefern dann |: G+S- ggAt = 0, C: Sa- gg{h-a)a2^ =0. Daraus folgt mit der auch hier geltenden geometrischen Beziehung (a) der zum Öffnen der Klappe erforderliche Wasserstand 1 G , a3 + a + l- —t a2 YggA ' 2A 2Ä (d)

1.2 Hydrostatik 25 Bei der Herleitung von (d) wurde vorausgesetzt, daß die Eintauchtiefe t des Schwimmers kleiner als seine Höhe ist. 1.2.5 Druck einer Flüssigkeit auf gekrümmte Flächen Wir wollen nun die resultierende Kraft einer Flüssigkeit auf die gekrümmte Fläche A nach Abb. 1.2 la ermitteln. Dabei ist es zweckmäßig, die Kraftkomponenten in vertikaler und in horizontaler Richtung getrennt zu bestimmen. Die auf ein Flächenelement dA wirkenden Komponenten der Kraft dF = pdA sind unter Beachtung vonp = ggz und dÄ = dA cos a bzw. dA* = dA sin a durch dFy=pdAcosa = ggzdÄ = ggdV, dF#=pdAsina = pdA* gegeben. Durch Integration erhält man daraus Fv = ggfdV FH =fpAA* = ggfzdA* = ggzs.A* Fv = ggV, FH=Ps„A* (1-25) Die Vertikalkomponente Fv ist demnach gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die sich oberhalb der Fläche A befindet. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Flüssigkeitsvolumens V. Die Horizontalkomponente Fh ist das Produkt aus der projizierten Fläche A* und dem Druck ps. im Schwerpunkt S* dieser Fläche. Sie stimmt mit der Kraft überein, die von der Flüssigkeit auf die vertikale ebene Fläche A* ausgeübt wird. Ihre Wirkungslinie kann daher nach Abschnitt 1.2.4 be- V Abb. 1.21

26 1 Hydromechanik stimmt werden. Die Gleichungen (1.25) gelten sinngemäß auch dann, wenn sich eine Flüssigkeit unterhalb einer gekrümmten Fläche befindet (Abb. 1.21b). In einem Anwendungsbeispiel bestimmen wir die resultierende Kraft, die vom Wasser im kreisförmigen Bereich BC auf eine Staumauer (Länge /) ausgeübt wird (Abb. 1.22a). Die Druckverteilung in der projizierten Ebene ist in Abb. 1.22b dargestellt. Mit V = irr2l/A, Ps* = 69 r/2 und A* = rl erhält man aus (1.25) die Kraftkomponenten zu Fv TT ggr2l, FH = -ggr2l. Die Wirkungslinie der Vertikalkomponente geht durch den Schwerpunkt der über CB liegenden Viertelkreisfläche (Abb. 1.22c). Sie hat den Abstand cs = ir/Sn (Band 1, Abschn. 4.3) vom Punkt C. Die Wirkungslinie der Horizontalkomponente verläuft in der Tiefe 2r/3 (Abb. 1.22b). Die resultierende Kraft kann auch durch Integration ermittelt werden (Abb. 1.22d). Auf ein Flächenelement dA — rd(pl wirkt die Kraft dF = pdA. Mit p — ggrsm<p, dFv — pdAsinip und dFf{ = p dA cos (p erhält man ir/2 Fv = Qgr21 I sin2 tpdip o tt/2 *V = -reg r l. 4 /siI Fh = Qgi~ l I sin f cos<pdtp —> FH — -Qgr• l. Da die Druckkräfte auf allen Flächenelementen orthogonal zur Staumauer wirken und demnach durch den Mittelpunkt M des Kreises gehen, Abb. 1.22

1.2 Hydrostatik 27 bilden sie ein zentrales Kräftesystem. Somit muß auch die Wirkungslinie der Resultierenden durch den Punkt M gehen. Beispiel 1.9: Der Querschnitt des nach Abb. 1.23a unter dem Wasserspiegel liegenden zylindrischen Wehrs AB (Breite b, Gewicht G) hat die Form eines Viertelkreises (Radius r). Das Wehr ist bei A gelenkig gelagert und liegt bei B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen in A und B. Qgk'f) Abb. 1.23 Lösung: Die auf das Wehr wirkenden Kräfte sind im Freikörperbild dargestellt (Abb. 1.23b). Abbildung 1.23c zeigt die Druckverteilung in der projizierten Ebene. Nach (1.25) erhält man die Komponenten der resultierenden Kraft F der Flüssigkeit auf das Wehr zu ggb x ^21 , ( TT \ c + r)r——r — ggbr ic+ r — —r I , FH=Ps.A* = ß9C+fC+rhr=\09br(2c + r). Die Wirkungslinie der aus FH und Fy resultierenden Kraft F geht durch den Kreismittelpunkt M. Daher lauten die Gleichgewichtsbedingungen n, M■ -AH r + Ga-Br = 0, ->: -AH + FH=0, t: Av-G + Fv + B = 0.

28 1 Hydromechanik Mit a = 2r/7r (Band 1, Abschn. 4.4) folgen daraus die Lagerreaktionen zu A-H = ~Q9br(2c + r), Av= (l--)G+^(Tr-2)ggbr2, 2 1 B = -G- -egbr(2c + r). 7T 2 Das Wehr ist nur für B > 0 geschlossen. Beispiel 1.10: Ein zylindrisches Wehr (Länge l. Gewicht G) taucht nach Abb. 1.24a in eine Flüssigkeit ® (Dichte 0i) ein. Es verhindert, daß sich eine Flüssigkeit @ (Schichtdicke r), deren Spiegel um r/2 oberhalb von A liegt, nach rechts ausbreitet. Man bestimme die Dichte qi der Flüssigkeit © . Wie groß sind die Lagerreaktionen in Al Abb. 1.24 Lösung: In der Trennfläche zwischen den beiden Flüssigkeiten gilt P\=V2 -> Q\gr/2 = g2gr ->■ Q2 = Qi/2.

1.3 Hydrodynamik 29 Damit sich die vorgegebene Schichtung einstellt, muß demnach die Dichte der Flüssigkeit ® halb so groß wie die Dichte der Flüssigkeit ® sein. Abbildung 1.24b zeigt die Druckverteilungen in den projizierten Ebenen. Aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung folgt: 11 r 1 ->: -^Q29r2l+ -(Q29r + Qigr)-l- -QXgr2l-AH =0 -> AH = -gigr l. Die Vertikalkomponente der resultierenden Kraft auf das Wehr setzt sich gemäß Abb. 1.24c aus zwei Anteilen zusammen. Mit dem Volumen /TT Vä\ 2, „ 1 2, 1,, (hlX Vä\ 2, V^{e-T)rl^ * = 2^-2^12 + -8-)^ erhält man /57T y/3\ 2, /TT V^ 2, Damit liefert das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung: t: F1+F2-G + Av=0 -» Av = G - ^Qigr2l. 1.3 Hydrodynamik 1.3.1 Kinematische Grundlagen Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung von Flüssigkeiten unter der Wirkung von Kräften. Bevor wir uns allerdings dem Einfluß von Kräften auf die Bewegung widmen, befassen wir uns mit der Kinematik von Strömungen. Hierzu führen wir zunächst einige Begriffe ein. Wir denken uns ein beliebiges Volumen in der Flüssigkeit durch eine geschlossene Fläche abgegrenzt. Durch diese Fläche soll Flüssigkeit weder in das Volumen einströmen noch aus ihm ausströmen. Die Flüssigkeit innerhalb der Fläche heißt dann abgeschlossene Flüssigkeitsmenge oder materielles Flüssig-

30 1 Hydromechanik Abb. 1.25 keitsvolumen. Ein materielles Flüssigkeitsvolumen mit infinitesimaler Ausdehnung nennt man ein Flüssigkeitsteilchen. Geht seine Ausdehnung gegen Null, so spricht man von einem materiellen Punkt. Wir betrachten nun das Flüssigkeitsteilchen, das sich zur Zeit t am Ort x befindet. Seine Geschwindigkeit bezeichnen wir mit v(x, t). Da der Vektor x einen beliebigen Ort in der Flüssigkeit kennzeichnet, gibt v(x, t) die Geschwindigkeiten der Flüssigkeitsteilchen an jedem Ort an. Man nennt v(x,t) das Geschwindigkeitsfeld; es beschreibt die Bewegung der gesamten Flüssigkeit. Abbildung 1.25a zeigt den Geschwindigkeitsvektor v an der Stelle x zum Zeitpunkt t = t\. Zu dieser Zeit befindet sich dort das Flüssigkeitsteilchen drrti. Zu einem späteren Zeitpunkt t = ti befindet sich an der gleichen Stelle ein anderes Flüssigkeitsteilchen dm-2. Außerdem hat sich im allgemeinen die Geschwindigkeit geändert. Das Geschwindigkeitsfeld beschreibt also nicht den zeitlichen Verlauf der Bewegungen der einzelnen Flüssigkeitsteilchen (der im allgemeinen ohnehin nicht interessiert), sondern es gibt an, welche Geschwindigkeit an jedem Ort zu jeder beliebigen Zeit vorliegt. Diese Betrachtungsweise, die typisch für die Beschreibung der Bewegung von Flüssigkeiten ist, geht auf Leonhard Euler (1707-1783) zurück. Durch das Geschwindigkeitsfeld kann man jedem Raumpunkt x eine Richtung, nämlich die Richtung v(x, t), zuordnen. Man erhält somit zu jedem Zeitpunkt ein Richtungsfeld (Abb. 1.25b); dieses kann sich im allgemeinen mit der Zeit ändern. Kurven, deren Tangentenrichtung in jedem Punkt mit der Richtung von v übereinstimmt, nennt man Stromlinien. Auch sie sind im allgemeinen zeitabhängig. Sie veranschaulichen in einfacher Weise das Gesamtbild der Strömung. Stromlinien können sich nicht schneiden und auch keinen Knick besitzen, da andernfalls an einer solchen Stelle zwei verschiedene Geschwindigkeiten existieren müßten. Außerdem kann kein Flüssigkeitstransport quer zu einer Stromlinie stattfinden.

1.3 Hydrodynamik 31 Bei manchen Strömungen hängt die Geschwindigkeit v nicht von der Zeit t, sondern nur vom Ort x ab. Dann sind das durch v(x) definierte Richtungsfeld und die Stromlinien zeitunabhängig. In diesem Fall nennt man die Strömung stationär. Andernfalls heißt sie instationär. Wenn zum Beispiel eine Flüssigkeit einen in ihr ruhenden festen Körper mit zeitlich konstanter Geschwindigkeit umströmt (d.h., die Geschwindigkeit an einem beliebigen, festen Ort des Strömungsfeldes sich nicht ändert), dann liegt eine stationäre Strömung vor. Bewegt man dagegen den Körper mit konstanter Geschwindigkeit durch eine im ungestörten Zustand ruhende Flüssigkeit, so ändert sich die Geschwindigkeit in allen Raumpunkten mit der Zeit, und die Strömung ist instationär. Von den Stromlinien müssen die Bahnlinien unterschieden werden. Dies sind die Kurven, die von den einzelnen Flüssigkeitsteilchen bei der Bewegung der Flüssigkeit durchlaufen werden. Bei stationären Strömungen fallen die Stromlinien und die Bahnlinien zusammen. Dem Geschwindigkeitsfeld v kann man ein anderes Vektorfeld gemäß w = -rotv (1.26) zuordnen. Der Vektor w heißt Wirbelvektor. Wenn w ^ 0 ist, dann nennt man die Strömung wirbelbehaftet. Ist dagegen in einem Bereich der Flüssigkeit w = 0, so heißt dort die Strömung wirbelfrei. In den technischen Anwendungen treten neben der allgemeinen dreidimensionalen Strömung häufig einfachere Strömungsformen auf. Wenn sich zum Beispiel alle Flüssigkeitsteilchen in parallelen, festen Ebenen bewegen, so ist die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu diesen Ebenen Null. Man spricht dann von einer ebenen Strömung. Bei der Bewegung von Flüssigkeiten in Rohren oder Gerinnen hat die Geschwindigkeit der Teilchen im wesentlichen die Richtung der Rohroder Gerinneachse. Vernachlässigt man die senkrecht zur Achse auftretenden Geschwindigkeitskomponenten, so gelangt man zu einer eindimensionalen Darstellung. Eine auf dieser vereinfachenden, eindimensionalen Betrachtungsweise aufbauende Theorie nennt man Hydraulik. Wir befassen uns im folgenden mit einer eindimensionalen Strömung, wie sie zum Beispiel in einem gekrümmten Rohr auftritt. Als Koordinate wählen wir die entlang der Achse gezählte Bogenlänge s. Dann hat das Geschwindigkeitsfeld nur die Komponente v = v(s,t). Wir betrachten nun ein Flüssigkeitsteilchen, dessen Lage in Abhängigkeit von der

32 1 Hydromechanik Zeit durch s(t) beschrieben wird. Seine Geschwindigkeit wird durch die Zeitableitung v = ds/dt definiert. Die Änderung der Geschwindigkeit ist durch das totale Differential dv dv dv=dSds+didt (L27) gegeben. Die Beschleunigung a(s, t) des Flüssigkeitsteilchens ist die zeitliche Änderung seiner Geschwindigkeit: a = dv/dt. Damit erhält man dv dv ds dt (1.28) Man nennt a = dv/dtdiematerielle(substantielle)Besch\eumgung.Sie setzt sich additiv aus der konvektiven Beschleunigung (dv/ds)v und der lokalen Beschleunigung dv/dt zusammen. Die lokale Beschleunigung gibt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit v an einem beliebigen (festen) Ort im Strömungsfeld an. Dagegen stellt die konvektive Beschleunigung die Änderung von v dar, die dadurch entsteht, daß sich das Teilchen zu einer Stelle mit anderer Geschwindigkeit weiterbewegt. Bei einer stationären Strömung hängt das Geschwindigkeitsfeld nicht von der Zeit ab: v — v(s). Dann ist wegen dv/dt = 0 die lokale Beschleunigung Null, und die materielle Beschleunigung vereinfacht sich zu a=-%. (1.29) ds 1.3.2 Stromfadentheorie 1.3.2.1 Allgemeines Zur Beschreibung der Bewegung einer Flüssigkeit müssen neben kinematischen Größen auch Kraftgrößen - zum Beispiel der Druck - berücksichtigt werden. Außerdem benötigt man Bewegungsgleichungen sowie ein Stoffgesetz zur Beschreibung des Materialverhaltens der Flüssigkeit. Wir beschränken uns im folgenden auf ideale Flüssigkeiten. Viele Strömungsvorgänge lassen sich exakt oder näherungsweise als eindimensionale Strömung beschreiben. Um zu einer solchen Darstel-

1.3 Hydrodynamik 33 lung zu gelangen, denken wir uns zunächst im Innern der Flüssigkeit eine geschlossene Kurve C gekennzeichnet (Abb. 1.26). Die Stromlinien durch alle Punkte dieser Kurve bilden eine Stromröhre; die darin enthaltene Flüssigkeit heißt Stromfaden. Wir nehmen an, daß die Geschwindigkeit und der Druck als konstant über den Querschnitt der Stromröhre angesehen werden können, d.h., die Strömung in einer Stromröhre wird durch ihr Verhalten auf einer beliebigen Stromlinie, der Leitstromlinie charakterisiert. Bei einer stationären Strömung ist die Stromröhre zeitlich unveränderlich, und die Flüssigkeit in ihr bewegt sich wie in einem Rohr mit fester Wand, während sich bei einer instationären Strömung die Stromröhre mit der Zeit ändert. Das gesamte Strömungsgebiet kann man sich aus vielen Stromfäden aufgebaut denken. Bei zahlreichen praktischen Anwendungen, zum Beispiel einer Rohrströmung, läßt sich das gesamte Strömungsgebiet als ein einziger Stromfaden auffassen. Wir beschränken uns von nun an auf stationäre Strömungen. Dann hängen die Geschwindigkeit und der Druck nur von der Bogenlänge s entlang der Leitstromlinie ab: v = v(s), p = p(s). (1.30) Für die Beschleunigung gilt dann nach (1.29) a = j^v. Eine auf diesen Vereinfachungen aufgebaute Theorie nennt man Stromfadentheorie. 1.3.2.2 Kontinuitätsgleichung Wir betrachten eine Stromröhre mit variabler Querschnittsfläche A(s) gemäß Abb. 1.27. Die Querschnittsflächen an zwei beliebigen Stellen ® bzw. ® werden mit A\ bzw. A2 bezeichnet. An diesen Stellen haben die Flüssigkeitsteilchen die Geschwindigkeiten v\ bzw. i>2. Durch die Querschnitte bei ® und ® wird ein Gebiet des Stromfadens abgegrenzt. In der Zeit dt fließt durch den Querschnitt A^ eine Flüssigkeitsmenge mit der Masse oA\ v\ dt in dieses Gebiet ein. Durch den Querschnitt A2 fließt

34 1 Hydromechanik ©, 4 \ V / Ueitstromlinie \ Vi V' Abb. 1.27 in der gleichen Zeit die Masse ^ A2 «2 dt aus. Da die Dichte konstant ist, kann sich dabei die Masse der Flüssigkeit im Gebiet nicht ändern (Massenerhaltung). Somit muß die an der Stelle ® austretende Masse genau so groß sein wie die bei ® eintretende Masse (durch die Stromröhre selbst kann keine Flüssigkeit ein- oder austreten): g Ai v\ dt = g A-2 V2 dt. Damit erhält man Ai vi = Ä2 V2 bzw. Das Produkt A v = const (1.31) Q = Av (1.32) heißt Volumenstrom und stellt das pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt strömende Volumen dar. Nach (1.31) ist der Völumenstrom an jeder Stelle s der Stromröhre gleich groß. Die Beziehung (1.31) nennt man Kontinuitätsgleichung. 1.3.2.3 Bernouttische Gleichung In der Stromröhre nach Abb. 1.28a bewege sich eine Flüssigkeit. Zur Herleitung der Bewegungsgleichung schneiden wir aus dem Stromfaden längs der Leitstromlinie ein Element der Länge ds und der Querschnittsfläche dA heraus (Abb. 1.28b). An seiner linken Stirnfläche - an der Stelle s - herrscht der Druck p, an der Stelle s + ds der Druck p + dp. Auf die Stirnflächen wirken somit die Druckkräfte pdA bzw. (p + dp)d A Das Gewicht des Massenelements ist durch dm g gegeben. Die auf den Zylindermantel wirkenden Flächenkräfte stehen senkrecht zur Zylinderachse (reibungsfreie Flüssigkeit!). Sie werden im folgenden nicht benötigt und sind daher in Abb. 1.28b nicht eingezeichnet.

1.3 Hydrodynamik 35 dm 45 (p.dp)dyJ Abb. 1.28 Die Bewegungsgleichung in Richtung von s lautet dm a = p dA — (p + dp) dA — dm g sin <p. dz Mit sin tp = — und dm = g dA ds erhält man hieraus ds (1.33) dp dz ga + — + gg— =0. ds ds du (1.34) Die Beschleunigung a = — v des Massenelements läßt sich auch als ds „2N d (v2 a = ~r~ I — ds V 2 schreiben. Damit wird aus (1.34) d fv2\ dp dz "ds Uj + ds- + ^ds~=°- (1.35) Da diese Gleichung nur Ableitungen nach derBogenlänge s enthält, kann man sie längs der Stromlinie integrieren und erhält die Bemoullische Gleichung (Daniel Bernoulli, 1700-1782) q h p+ gg z = const (1.36) Alle Terme in (1.36) haben die Dimension eines Drucks. Man bezeichnet p als statischen Druck, gv2 /2 als Staudruck (dynamischer Druck) und ggz als geodätischen Druck. Nach (1.36) ist die Summe aus dem statischen Druck, dem Staudruck und dem geodätischen Druck längs ei-

36 1 Hydromechanik ner Stromlinie konstant. Die Summe aus dem statischen Druck und dem Staudruck nennt man Gesamtdruck. Die einzelnen Terme in der Bernoullischen Gleichung können auch in anderer Weise gedeutet werden. Die Ausdrücke gv2 /2 bzw. ggz stellen die auf das Volumen bezogene kinetische bzw. potentielle Energie eines Flüssigkeitsteilchens dar. Daher läßt sich auch p als eine auf das Volumen bezogene Energie deuten. Man nennt p dann Druckenergie (vgl. auch Abschn. 1.2.1). Bei dieser Betrachtungsweise bezeichnet man (1.36) als Energiegleichung der stationären Strömung. Sie sagt aus, daß für eine ideale Flüssigkeit die „Strömungsenergie" längs einer Stromlinie konstant ist. Dividiert man (1.36) durch gg, so erhält man 2 — + — +z = H = const. (1.37) 23 69 Alle Terme haben nun die Dimension einer Höhe. Man nennt v2 /2g die Geschwindigkeitshöhe, p/gg die Druckhöhe, z die Ortshöhe und H die hydraulische Höhe. In einem Anwendungsbeispiel untersuchen wir den Ausfluß aus einem Gefäß mit einer im Vergleich zur Spiegelfläche As kleinen Öffnung A (Abb. 1.29a). Damit die Strömung stationär ist, wird der Flüssigkeitsspiegel durch einen Zufluß auf der konstanten Höhe h über der Öffnung gehalten. Wir fassen das Gefäß mit dem Ausfluß als Stromröhre auf und wählen eine Leitstromlinie vom Spiegel bis zum Ausfluß. Zählen wir z von der Ausflußöffnung, so liefert die Bemoullische Gleichung für die Punkte ® und © 1 1 -gv2s+p0 + ggh=~gv2+po + 0. (1.38) Wenn der Spiegel auf konstanter Höhe gehalten wird, gilt vs = 0. Damit folgt v=y/2gh . (1.39) Diese Gleichung nennt man Torricellische Ausflußformel. Die Ausflußgeschwindigkeit v hängt demnach nur von der Höhe h des Spiegels über der Öffnung ab. Sie ist gleich der Geschwindigkeit eines Massenpunktes,

1.3 Hydrodynamik 37 k-o Po T I VÜL l'l r®" ^77777777777777777777777777: U *ß mn 77777777777777777777777. Abb. 1.29 der ohne Anfangsgeschwindigkeit auf einer beliebigen, reibungsfreien Bahn die gleiche Höhe h durchläuft (Energiesatz). Experimente zeigen, daß die Ausflußgeschwindigkeit in Wirklichkeit etwas kleiner ist als die mit der Torricellischen Formel berechnete Geschwindigkeit. Dies ist auf die in der Flüssigkeit wirkende Reibung zurückzuführen. Außerdem stellt man eine Einschnürung des austretenden Flüssigkeitsstrahls fest, wenn die Öffnung nicht hinreichend abgerundet ist. Beide Effekte können mit Hilfe von Korrekturtermen berücksichtigt werden. Wenn das Gefäß keinen Zufluß hat, sinkt der Flüssigkeitsspiegel im Lauf der Zeit. Die Strömung ist dann instationär. Für A/As <SC 1 ist die Geschwindigkeit vs, mit der sich der Spiegel absenkt, sehr klein im Vergleich zur Ausflußgeschwindigkeit v. In diesem Fall kann man die Strömung in guter Näherung immer noch als stationär betrachten und die Geschwindigkeit v nach (1.39) mit der augenblicklichen Höhe h(t) berechnen: v = y/2gh(t). Damit läßt sich die Zeit At ermitteln, in welcher der Spiegel von einer Anfangshöhe ho auf eine Endhöhe h\ absinkt (Abb. 1.29b). Dabei wird im Beispiel der Einfachheit halber angenommen, daß die Spiegelfläche As konstant ist. Die Geschwindigkeit vs ist definiert als die zeitliche Änderung der Höhe h: v3 = - 37 -> dh at -vsdt, Das negative Vorzeichen zeigt an, daß h und vs entgegengesetzt gerichtet sind. Der Betrag von vs folgt aus der Kontinuitätsgleichung: As v. = A v Af

38 1 Hydromechanik Unter Berücksichtigung von (1.39) erhält man somit A a dh = -—- vdt = ——\Jlgh&t. As As Trennen der Veränderlichen und Integration liefert die gesuchte Zeit: 2<7 dh_ 7h -> At: [2As 9 A 0 hi). (1.40) Wir betrachten nun die Strömung in einem Rohr, das über Zuleitungen mit einem Manometer verbunden ist (Abb. 1.30a). Das Manometer mißt die Differenz der Drücke pt bzw. pr auf der linken bzw. der rechten Seite. Da sich die Flüssigkeit in den Zuleitungen nicht bewegt, gilt nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) Pi=Pi + egzi, pr=P2 + egz2- _® © t) Pl Pr M Pl Pr e.p 1 d ?* Po u p«fH Pi =/>o Pr °Po Abb. 1.30

1.3 Hydrodynamik 39 Mit der Bemoullischen Gleichung für eine Stromlinie von ® nach ® folgt daraus 1 2 1 2 -QV! +pi + ggzi = -gv2 +p2 + ggz2 1 2 1 2 Das Manometer mißt demnach die Differenz der Staudrücke g v\/2 und qv\I2 in der Strömung (nicht die Differenz der statischen Drücke pi und P2). Ein Rohr, dessen Querschnittsfläche sich in einem Bereich ® bis © vom Wert A1 auf den Wert A2 verjüngt und sich anschließend wieder auf den ursprünglichen Wert erweitert, nennt man Venturirohr (Abb. 1.30b). Da der Volumenstrom Q im Rohr konstant ist, gilt nach der Kontinuitätsgleichung vi = Q/Ai , v2 = Q/A2 . Einsetzen in (1.41) liefert Q V qw-m) ■ Bei gegebenen Querschnittsabmessungen kann man somit aus der im Manometer gemessenen Druckdifferenz den Volumenstrom im Rohr ermitteln. Die Geschwindigkeit v einer Strömung kann mit einem Prandtl-Rohr (Abb. 1.30c) bestimmt werden. Beachtet man, daß die Geschwindigkeit im Punkt A Null ist, so erhält man aus (1.41) Pi-Pr=2ev2 -^ v= \j-M-Pr)- Den Punkt A nennt man Staupunkt. Aus der Bemoullischen Gleichung für die Stromlinie, die in A mündet (Staustromlinie), folgt mit vA = 0 der Druck im Punkt A zu 1 2 PA=P+2ev ■

40 1 Hydromechanik Gegenüber dem ungestörten statischen Druck p wirkt demnach im Staupunkt ein erhöhter Druck. Der Druckanstieg ist gleich dem Staudruck QV2/2. Die Messung des statischen Drucks p kann mit Hilfe eines U-Rohres (Abb. 1.30d) erfolgen, in dem sich eine Meßflüssigkeit mit der Dichte gM befindet. Der freie Schenkel des Rohres ist oben offen. Nach (1.5) gilt dann p + ggH = p0 + gMgh -+ p = p0 + gMgh- ggH. (1.43) Wenn die Dichte gM der Meßflüssigkeit sehr viel größer als die Dichte g der strömenden Flüssigkeit ist, dann kann man - bei nicht zu großem H - den Term ggH in (1.43) vernachlässigen: P = Po + Qm 9 h. Bei vielen technisch wichtigen Strömungsvorgängen gehen Druckunterschiede in verschiedenen Punkten einer Stromlinie im wesentlichen auf Geschwindigkeitsunterschiede und nicht auf Höhenunterschiede zurück. Vernachlässigen wir die Änderung des geodätischen Drucks in der Bernoullischen Gleichung, dann vereinfacht sie sich zu v2 g— + p = const, d.h., der Gesamtdruck ist längs einer Stromlinie konstant. In einem Staupunkt A ist wegen vA = 0 der statische Druck pA gleich dem Gesamtdruck pG auf der Staustromlinie: v2 Pa=Pg = &Y+P- Daher kann man den Gesamtdruck mit einem Staurohr (Pitotrohr) nach Abb. 1.30e bestimmen. Bei Vernachlässigung des hydrostatischen Druckanstiegs im vertikalen Rohr kann man am Manometer die Differenz des Gesamtdrucks und des Luftdrucks po ablesen. Beispiel 1.11: Aus einem Speicher, dessen Spiegel durch einen Zufluß auf der konstanten Höhe H gehalten wird, fließt Wasser durch ein Rohr mit der Querschnittsfläche Ai- An der Stelle ® wird der Querschnitt des Rohres mit einem Venturi-Einsatz auf A\ reduziert (Abb. 1.31). Von

1.3 Hydrodynamik 41 dieser Stelle führt ein vertikales Rohr in einen Behälter ®, der ebenfalls Wasser enthält. Sowohl das Venturi-Rohr als auch der Ausfluß ® liegen auf der Höhe h. Welcher Pegel hß stellt sich im Behälter ein? Abb. 131 Lösung: Die Austrittsgeschwindigkeit v2 des Wassers an der Stelle ergibt sich nach (1.39) zu v2=y/2g(H-h). Die Geschwindigkeit vi im eingeschnürten Querschnitt ® folgt aus der Kontinuitätsgleichung: s\2 I Ai vi = A2 vi -» wi = — V 2 g (H - h). Ai Mit Hilfe der Bemoullischen Gleichung für die Punkte ® und ® einer Stromlinie können wir nun den Druck pi im eingeschnürten Querschnitt bestimmen: 1 2 Po + QgH = -gv1 +pi +ggh -> Pi =Po - gg(H - h) Ai - 1 (a) Wegen A2 > Ai und H > h ist der Druck pi kleiner als der At- mosphärendruckpo- Falls das Rohr an der Stelle ® ein Loch hätte, würde dort kein Wasser austreten, sondern Luft in das Rohr gesaugt werden. Auf dieser Saugwirkung beruht das Prinzip der Wasserstrahlpumpe.

42 1 Hydromechanik Der Druck pB am Boden des Behälters d> kann nach der hydrostatischen Druckgleichung (1.5) einerseits durch Pb =po + eghß und andererseits durch Pb =Pi+ Q9h (b) (c) ausgedrückt werden. Durch Vergleich von (b) und (c) erhalten wir die gesuchte Spiegelhöhe hB = —(pi -po) + h. Q9 Einsetzen von (a) liefert schließlich hB = H~\TJ {H~h)- Im Sonderfall Pi =Po - Qgh. Ax H H-h wird hß = 0. Dann ist nach (a) Beispiel 1.12: Aus einem Behälter (Abb. 1.32a) strömt Wasser rotationssymmetrisch und stationär durch einen Spalt der Höhe h(h <?; H). -L 7 ""■ T P —1/-. (-— ' Abb. 1.32

1.3 Hydrodynamik 43 Man bestimme die GeschwindigkeitsVerteilung v(r) und die Druckverteilung p(r) im Bereich n < r < ra. Welche resultierende Druckkraft F übt das Wasser in diesem Bereich auf die kreisringförmige Platte Paus? Lösung: Wir bestimmen zuerst die Ausflußgeschwindigkeit V2 mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung für die Punkte ® und © einer Stromlinie (Abb. 1.32b): 1 , , Q9H=20V2 ~* v2 = \j2gH. Die Geschwindigkeitsverteilung im Spalt folgt aus der Kontinuitätsgleichung. Mit der Querschnittsfläche A(r) = 2nrh ergibt sich (Abb. 1.32c) 2irrhv(r) = 2irrahv2 —> v(r) = ^/2g H — . r Die Druckverteilung erhält man aus der Bernoullischen Gleichung für die Punkte ® und ® einer Stromlinie (Abb. 1.32d): 1 fr2 -gv2(r)+p(r)=po + ggH -> p(r) = p0 - ggH ( -§ - 1 Wegen r < ra gilt p(r) < po. Da der Druck nicht negativ sein kann (genauer: nicht kleiner als der Dampfdruck), sind die Ergebnisse nur für 2 P(n)>0 -> %<l+ Po rf ggH physikalisch sinnvoll. Auf die Platte P wirkt von oben der Druck p(r) und von unten der Atmosphärendruck po- Somit ergibt sich wegen p(r) < p0 eine nach oben gerichtete resultierende Kraft (die Strömung versucht, die Platte anzusaugen!). Mit dA = 2irrdr erhält man F= f\p0 - p(r)]dA = 2nggH f (—~ A dr 2-irggH r„ 1. . r,- 21 ' o (2 2 \ ri\n -(r„ - -^

44 1 Hydromechanik 1.3.2.4 Impulssatz Wenn man aus der Kontinuitätsgleichung und der Bernoullischen Gleichung die Druckverteilung in einer strömenden Flüssigkeit bestimmen kann, dann lassen sich daraus die Kräfte berechnen, die von der Flüssigkeit auf die Berandungen ausgeübt werden. In vielen Fällen ist die Ermittlung der Druckverteilung auf diesem Weg jedoch nicht möglich. Dann verwendet man zur Berechnung der Kräfte den Impulssatz (Band 3, Gl. (2.12)) F=^ (1.44) dt (man verwechsle den Impuls p nicht mit dem Druck p!). Danach ist die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe aller äußeren Kräfte, die auf einen materiellen Körper wirken. Dies gilt unabhängig davon, ob der Körper fest oder flüssig ist. Es wird sich zeigen, daß man mit Hilfe des Impulssatzes Aussagen über die Zustände am Rand eines Bereichs einer strömenden Flüssigkeit treffen kann, ohne Kenntnisse über die Verhältnisse (zum Beispiel die Geschwindigkeits- und die Druckverteilung) im Innern zu besitzen. Wir beschränken uns im folgenden auf stationäre Strömungen und betrachten eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge, die sich zum Zeitpunkt t im raumfesten Bereich abcd einer Stromröhre befindet (Abb. 1.33). Ein Flüssigkeitsteilchen mit der Masse dm = gdV und der Geschwindigkeit v besitzt den Impuls dp = vdm = g vdV. Wir denken uns die Flüssigkeit aus unendlich vielen Flüssigkeitsteilchen aufgebaut und erhalten so den Gesamtimpuls der abgeschlossenen Flüssigkeitsmenge durch Summation (= Integration) über alle Teilchen: »«>=/ gvdV. (1.45) abcd vi?A *6U SS '/ ^ -f !^/' b Abb. 1.33

1.3 Hydrodynamik 45 Die abgeschlossene Flüssigkeitsmenge bewegt sich in der Stromröhre und befindet sich zum Zeitpunkt t + dt im Bereich efgh. Dann hat sie den Impuls p(t + dt) = / gvdV. (1-46) efgh Zerlegt man die Volumenintegrale in (1.45) und (1.46) in je zwei Teilintegrale (Abb. 1.33), dann erhält man für die Impulsänderung dp = p(t + dt)-p{t) IgvdV+ f gvdV efcd dcgh I gvdV + I qv abfe efcd dV . (1.47) In den infinitesimalen Bereichen abfe bzw. dcgh dürfen die Geschwindigkeiten vi bzw. «2 als konstant betrachtet werden. Somit gilt / gvdV = qviAiV\dt, I gvdV = ^^2^2^2^. dcgh (1.48) abfe Da die Strömung stationär ist, sind wegen v(t + dt) = v(t) die Integrale über den Bereich efcd in (1.47) gleich. Die Änderung des Impulses im Zeitintervall dt ist daher durch dp = (gA2V2V2 — Q A\V\v{)dt (1.49) gegeben. Das Produkt gAv ist nach der Kontinuitätsgleichung (1.31) konstant. Es stellt die pro Zeiteinheit durch einen festen Querschnitt strömende Masse dar {Massenstrom). Mit der Bezeichnung m = qAv = qQ (1.50) (man beachte, daß der Punkt hier keine Zeitableitung kennzeichnet) erhalten wir dann aus (1.49) — = qQ(v2 - v^ = m(v2 - vi). dt Einsetzen in (1.44) liefert den Impulssatz m(«2 — vi) (1.51)

46 1 Hydromechanik Er lautet in Komponenten Fx = m(v2x Fy = rh(v2y Fz = m(v2z -Vlx), -Wly), -vu). (1.52) Die resultierende Kraft F auf die abgeschlossene Flüssigkeitsmenge bewirkt deren Impulsänderung. Sie setzt sich aus den Volumenkräften und den an der Oberfläche angreifenden Druckkräften zusammen. Bei der praktischen Anwendung des Impulssatzes wählt man ein raumfestes Kontrollvolumen (zum Beispiel das Volumen abcd in Abb. 1.33). Die Terme auf der rechten Seite von (1.51) lassen sich als der pro Zeiteinheit aus dem Kontrollvolumen ausfließende Impuls rhv2 bzw. der in das Kontrollvolumen einfließende Impuls mv\ deuten. Demnach ist die resultierende Kraft F auf die im Kontrollvolumen enthaltene Flüssigkeit gleich der Differenz aus den ausfließenden bzw. einfließenden Impulsen. Wir wenden den Impulssatz auf die stationäre Strömung einer Flüssigkeit in einem Rohrkrümmer an, der sich in einer horizontalen Ebene befindet (Abb. 1.34a). Die Querschnittsfläche des Rohres verändert sich vom Wert A\ an der Stelle ® auf den Wert A2 an der Stelle ® . Die Einströmgeschwindigkeit v\ und der statische Druck p\ sind gegeben. Wir wollen die Kraft bestimmen, die von der Flüssigkeit im Bereich (D bis ® auf den Krümmer ausgeübt wird. Um diese Kraft zu bestimmen, wählen wir ein Kontrollvolumen gemäß Abb. 1.34b. Die Ausflußgeschwindigkeit v2 ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung: viAi = v2A2 -» v2 = — t>i . A2 < 'L ~Är ipjAi v, Abb. 1.34

1.3 Hydrodynamik 47 Der zugehörige statische Druck pi folgt aus der Bernoullischen Gleichung: 1 2 1 2 -QVl +pi = -QV2 +p2 P2=Pl + ^Q{v\-vl). Die resultierende Kraft auf die Flüssigkeit setzt sich aus den Druckkräften Pi Ai und p-2 A-2 in den Endquerschnitten sowie der vom Krümmer auf die Mantelfläche ausgeübten Kraft K zusammen (Abb. 1.34b). Damit lautet der Impulssatz (1.51) -»: p\A\ cosß — P2A2 + Kx = m(v2 - «i cos ß), t: —piA-isinß + Ky = mv\sm.ß. Die gesuchte Kraft auf den Krümmer hat wegen actio = reactio den gleichen Betrag wie K, ist aber entgegengesetzt gerichtet. Wenn wir die Vorzeichen von Kx und Ky umdrehen, dann erhalten wir die Komponenten der Kraft auf den Krümmer. Mit rh = gAivi ergibt sich Kx=piAicosß -P2A2 - ßAiUi(u2 - uiCos/3), Ky = —piAi sinß — qA\v\sin/?. Im Sonderfall eines Halbkreiskrümmers mit konstanter Querschnittsfläche A sind die Geschwindigkeit v und der Druck p konstant. Dann erhält man mit ß = 7r: Kx = -2A(p+gv2), Ky = 0. Mit Hilfe des Impulssatzes kann man in einfacher Weise die Kraft ermitteln, die von einer nach Abb. 1.35a aus einem Behälter ausströmenden Flüssigkeit (vgl. Abb. 1.29a) auf dessen Wände ausgeübt wird. Mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.35b folgt die Kraft F auf die Flüssigkeit aus dem Impulssatz in horizontaler Richtung: -»: F = qAv2. •;j>;i;?jj;,/;S//j////»s/ Abb. 1.35

48 1 Hydromechanik Die Kraft auf den Behälter ist entgegengesetzt gerichtet und ergibt sich mit v2 = 2gh zu F = 2gghA. Wenn der Behälter auf einer glatten Unterlage steht, bewegt er sich unter der Wirkung dieser Kraft nach links. Beispiel 1.13: Ein Wasserstrahl tritt mit der Geschwindigkeit v aus einer Düse (Querschnittsfläche A) und trifft auf eine Turbinenschaufel (Abb. 1.36a). Dort wird er symmetrisch geteilt und umgelenkt (ebenes Problem). Man bestimme die vom Strahl auf die ruhende Schaufel ausgeübte Kraft. Wie groß ist die Kraft, wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit vo nach rechts bewegt? Bei welcher Geschwindigkeit Vq wird die Leistung der Kraft maximal? ©< \ i CS I *"* / F ) I Abb. 1.36 Lösung: Der Atmosphärendruck p0 wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht berücksichtigt zu werden. Aus der Bernoullischen Gleichung für die Stromlinie von ® nach ® (Abb. 1.36b) erhalten wir mit pi = po für die Geschwindigkeit im umgelenkten Strahl vx = v. Damit liefert die Kontinuitätsgleichung Ai = A/2, und die Massenströme in den Strahlen sind durch rh — qAv, rhi = qA\Vi = qAv/2 gegeben. Die von der Schaufel auf das Wasser ausgeübte Kraft F folgt mit dem Kontrollvolumen nach Abb. 1.36b aus dem Impulssatz: —>: — F =—2rhivi cosß - rhv -* F = (1 + cosß)g Av2 . Die Kraft auf die Schaufel ist entgegengesetzt gleich groß.

1.3 Hydrodynamik 49 Wenn sich die Schaufel mit der Geschwindigkeit vo nach rechts bewegt, dann beträgt die Auftreffgeschwindigkeit des Strahls v — vq, und die Kraft ergibt sich zu F= (l + cosß)gA(v-v0)2. Die Leistung dieser Kraft (vgl. Band 3, Gl. (1.72)) ist durch P = Fv0 = (1 + cos ß)gA(v -v0)2v0 gegeben. Sie wird maximal für dP , 1 d^=0 -> v° = r- Beispiel 1.14: Ein horizontaler Wasserstrahl (Querschnittsfläche Ä) trifft mit der Geschwindigkeit v auf eine Schneide S und teilt sich dort (Abb. 1.37a). Ein Teil des Strahls bewegt sich mit der Geschwindigkeit V2 entlang der Schneide, der andere Teil wird um den Winkel a abgelenkt und besitzt die Geschwindigkeit v\. Wie groß ist das Verhältnis \i = Ai/Al Welche Kraft wirkt auf die Schneide? Abb. 1.37 a b Lösung: Aus der Bemoullischen Gleichung für die Stromlinien von ® nach ® bzw. von ® nach ® (Abb. 1.37b) erhalten wir zunächst mit Pi = po und p2=pofür die Geschwindigkeiten Vi = V2 — v. Damit liefert die Kontinuitätsgleichung Aivi + A2v2 = Av —> Ai + A2 = A.

50 1 Hydromechanik Für die Massenströme in den Strahlen erhält man m = q Av, rhi = g A\V\ = (im, rh2 = QA2V2 = (1 — fj.)m. Wir betrachten nun das Kontrollvolumen nach Abb. 1.37b. Unter Beachtung, daß von der Schneide keine Kraft in z-Richtung auf die Flüssigkeit ausgeübt wird (reibungsfreie Flüssigkeit), lautet der Impulssatz —>: 0 = — rhiVi sina +7712¾ = — [ßsina — (1 — fi)]mv , T: F = —rhiVi cos a + rhv = (1 — fi cos a)mv . Die erste Gleichung liefert das Teilungsverhältnis fi: fisina — (1 — /i) = 0 —> fi 1 1 + sin q Damit folgt aus der zweiten Gleichung 2 1+sina-cosa 2 F= (1 - ucosa)gAv = - A- = v ' 1+sina qAv2 Beispiel 1.15: Ein mit Flüssigkeit gefülltes, horizontales Rohr (Querschnittsfläche Ai) mündet in einer Düse (Querschnittsfläche A2). Es wird durch Hineinschieben eines Kolbens geleert (Abb. 1.38a). Welche Kolbenkraft FK ist erforderlich, um den Kolben mit konstanter Geschwindigkeit vK zu bewegen, und welche Lagerreaktionen treten dabei in B und C auf? +7-3 0 rr l iöL pA l*1l r>___, © :]^ ® Abb. 1.38 Lösung: Der Atmosphärendruck po wirkt von allen Seiten und braucht daher nicht berücksichtigt zu werden. Die Kolbenkraft ist durch

1.3 Hydrodynamik 51 FK = piAi bestimmt (Abb. 1.38b). Aus der Kontinuitätsgleichung und der Bemoullischen Gleichung für eine Stromlinie von ® nach ® folgen A\vK = A2V2 1 2 1 2 ^QVx+Pl = ^QV2 Damit wird FK =piAi = -gAlV2K -» -¥ \A~* v2 = 1 2 Pi = 2gvK H W- -1 Der Impulssatz für das Kontrollvolumen nach Abb. 1.38b liefert mit m = q A\vK die vom Rohr auf die Flüssigkeit ausgeübte Kraft Fr: ->: piAi - FR = m(v2-vK) -> FR = -gAiv2K ( —- - 1J . Die entgegengesetzt gleich große Kraft übt die Flüssigkeit auf das Rohr aus (Abb. 1.38c). Damit folgt aus Symmetriegründen B = C=±FR = ^gA1vK 2 {M A2 1 1.3.3 Strömung mit Energieverlusten 1.3.3.1 Allgemeines In einer zähen Flüssigkeit wirken zwischen den sich bewegenden Flüssigkeitsteilchen Tangentialkräfte, die Reibungswiderstände darstellen. Ihre Größe hängt von der Änderung der Geschwindigkeit der strömenden Flüssigkeit normal zur Bewegungsrichtung ab. Um dies zu zeigen, betrachten wir den Scherversuch nach Abb. 1.39 für eine Newtonsche Abb. 1.39 ^0 '—— bew. Berondung feste Berandung

52 1 Hydromechanik Flüssigkeit. Eine zähe Flüssigkeit haftet an den Berandungen. Sie besitzt also an der bewegten Berandung die Geschwindigkeit v0 und ist an der festen Berandung in Ruhe. Dazwischen hat die Geschwindigkeit v bei einer einfachen Scherströmung überall die gleiche Richtung wie v0 und ist über den Abstand h linear verteilt: v(z) = - v0 . Im Zeitintervall dt bewegt sich die obere Platte um den Weg v0dt nach rechts. Aus dem zugehörigen Winkel d7 = —— ergibt sich die Scher- h geschwindigkeit 7 = —- = —. Wegen — = — gilt auch 7 dt h dz h und aus (1.1) folgt damit schließlich du dv T = r]dz (1.53) Somit ist bei einer Newtonschen Flüssigkeit die Schubspannung proportional zur Geschwindigkeitsänderung normal zur Bewegungsrichtung. Bei einer reibungsfreien Strömung werden die Schubspannungen vernachlässigt, und man nimmt an, daß die Flüssigkeit mit endlicher Geschwindigkeit tangential an einer sie begrenzenden Wand entlangströmt (Abb. 1.40a). Bei einer realen Strömung tritt dagegen immer innere Reibung auf. Da die Flüssigkeit an der Wand haftet, sinkt die Geschwindigkeit innerhalb eines gewissen Bereichs auf den Wert Null ab (Abb. 1.40b). Dieser Bereich heißt Grenzschicht. Dies bedeutet, daß die Idealisierung der reibungsfreien Strömung nur dann zulässig ist, wenn die Dicke der Grenzschicht sehr klein gegen die übrigen Abmessungen des Strömungsfeldes ist. ■///////////// =3__1 -2? Grenzschicht Abb. 1.40

1.3 Hydrodynamik 53 Bei der Bewegung einer viskosen Flüssigkeit treten wegen der inneren Reibung Energieverluste auf, so daß zur Aufrechterhaltung der Strömung eine Energiezufuhr (z.B. durch einen Höhenunterschied oder einen Druckgradienten) erforderlich ist. Beispiele dafür sind die Bewegungen von Flüssigkeiten in Rohren oder Gerinnen (Kanälen, Flüssen). Entsprechend muß auch bei der Bewegung eines festen Körpers in einer ruhenden Flüssigkeit Energie aufgewendet werden, damit dieser nicht zum Stillstand kommt. 1.3.3.2 Verallgemeinerte Bernoullische Gleichung Nach der Bernoullischen Gleichung (1.36) ist für eine reibungsfreie Flüssigkeit die „Strömungsenergie" längs einer beliebigen Stromlinie konstant. Bei realen (zähen) Flüssigkeiten wird allerdings ein Teil dieser Energie durch innere Reibung in andere Energieformen (z.B. Wärme) umgewandelt. Daher ist für zähe Flüssigkeiten die Summe aus kinetischer, potentieller und Druckenergie nicht konstant, sondern sie nimmt in Strömungsrichtung ab. Man kann dies in der Bernoullischen Gleichung dadurch berücksichtigen, daß man einen positiven Term Apv einführt, der den Energieverlust darstellt (dieser hängt im allgemeinen vom Abstand der Bezugspunkte auf der Leitstromlinie ab). Damit erhält man die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung 1 2 1 2 -qvx + qgzx + pi = -gv2 + Qgz2+P2+&Pv (1.54) Da man die auf das Volumen bezogene Energie als Druck deuten kann (vgl. Abschn. 1.2.1 und 1.3.2.3), nennt man Apv auch Druckverlust. Er läßt sich durch die dimensionslose Druckverlustzahl C charakterisieren. Man erhält sie dadurch, daß man den Druckverlust auf den Staudruck - zum Beispiel an der Stelle ® - bezieht: t-TZfi- (L55) In einem Anwendungsbeispiel betrachten wir die Strömung einer Flüssigkeit in einem horizontalen Rohr, dessen Querschnittsfläche sich nach Abb. 1.41 plötzlich von A\ auf A2 vergrößert. Vor der Quer- schnittsänderung sind die Geschwindigkeit bzw. der Druck durch vi bzw. pi gegeben. Die Flüssigkeit strömt in Form eines Strahls in den

54 1 Hydromechanik ? 4l \*J>J>^ | £^^ i i i n ! " "? Abb. 1.41 Bereich mit dem größeren Querschnitt ein. Wir nehmen an, daß die Flüssigkeit seitlich vom Strahl ruht. Dann herrscht dort der gleiche Druck wie im Strahl, nämlich pi. Stromab von der Erweiterung vermischt sich der Strahl aufgrund der inneren Reibung unter starker Wirbelbildung mit der ihn umgebenden Flüssigkeit. Erst am Ende eines Übergangsgebietes stellt sich wieder eine nahezu gleichförmige Strömung mit der Geschwindigkeit u2 und dem Druck p2 ein. Da bei einer reibungsbehafteten Flüssigkeit die Teilchen an der Rohrwand haften, sind vi bzw. t>2 hier die Mittelwerte der Geschwindigkeitsverteilungen in den Querschnitten. Wir wollen im folgenden V2 und />2 sowie die Druckverlustzahl ¢ bestimmen. Die Geschwindigkeit 1¾ folgt aus der Kontinuitätsgleichung viAi = V2A2 zu V2= ~rvi. (1.56) A2 Durch die Wirbelbildung geht Strömungsenergie verloren. Daher darf die Bernoullische Gleichung (1.36) nicht angewendet werden. Zur Ermittlung des Drucks P2 können wir den Impulssatz auf das Kontroll Volumen nach Abb. 1.41 anwenden. Dabei vernachlässigen wir die resultierende Kraft der an der Mantelfläche des Kontrollvolumens angreifenden Schubspannungen. Dann lautet der Impulssatz ->: piA2 -P2A2 = gA2vl -qAiv\ . (1.57) Einsetzen von (1.56) liefert 2 M (^ AY P2 = Pi + Qv2{vi -V2) =pi + gvf— f 1 - — 1 . (1.58) Wenn man nun V2 und p2 nacn (1.56) und (1.58) in die verallgemeinerte Bernoullische Gleichung (154) einsetzt, erhält man mit z\ = z2 Ap„ = f («? - vi) - ip2 -Pi) = 6-vl (l - ^)2 ■ d-59)

1.3 Hydrodynamik 55 Dieser Druckverlust wird auch als Carnotscher Stoßverlust bezeichnet. Die Druckverlustzahl ergibt sich nach (1.55) zu C = fl - ~) • (1.60) Bei plötzlicher Verengung des Rohrquerschnitts tritt ebenfalls ein Verlust an Strömungsenergie auf. Dieser ist jedoch kleiner als der Verlust bei der plötzlichen Erweiterung. Durch allmähliche Querschnittsänderung können die Verluste stark herabgesetzt werden. Beispiel 1.16: In einem Kanal mit der Querschnittsfiäche A befindet sich ein keilförmiger Körper (Abb. 1.42a). Die strömende Flüssigkeit hat vor dem Keil die Geschwindigkeit v. Welche Kraft wird von der Flüssigkeit auf den Keil ausgeübt? i r~<zi i i i ■7777777777777777777777777777777777777777-, -^ ® © Abb. 1.42 » b Lösung: Aus der Kontinuitätsgleichung und der Bernoullischen Gleichung für eine Stromlinie von ® nach <D (Abb. 1.42b) folgen 2 3 Av = -Av! -> vi = -v, 11 5 -QV2 +p= -QV\ +pi -> ^-^1 = ^^^2. Unmittelbar hinter dem Keil ruht die Flüssigkeit. Daher herrscht dort ebenfalls der Druck pi. Die vom Keil auf die Flüssigkeit ausgeübte Kraft folgt aus dem Impulssatz. Die Kraft auf den Keil ist entgegengesetzt gleich groß. Wenn wir die Reibung an den Kanalwänden und am Keil vernachlässigen, gilt mit dem Kontroll volumen nach Abb. 1.42b für diese Kraft -»: —F + (p-pi)A = gAv(v1—v) -> F=-qAv2.

56 1 Hydromechanik 1.3.3.3 Strömung in einem kreiszylindrischen Rohr Wir betrachten nun die stationäre Strömung einer Newtonschen Flüssigkeit in einem horizontalen, zylindrischen Rohr mit Kreisquerschnitt (Radius R). Dabei nehmen wir an, daß die Stromlinien parallel zur Zylinderachse sind und die Geschwindigkeit v nur vom Abstand r abhängt (Abb. 1.43a). Die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich dann in Schichten, die sich nicht vermischen. Eine Strömung dieses Typs nennt man Schichtenströmung oder laminare Strömung. Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils v(r) denken wir uns einen koaxialen Flüssigkeitszylinder mit der endlichen Länge Al und dem Radius r aus der Flüssigkeit geschnitten (Abb. 1.43b). An den Stirnfl ächen wirken die Drücke pi bzw. p2. Auf der Mantelfläche des Zylinders wirkt die Schubspannung t. Sie ist für eine Newtonsche Flüssigkeit entsprechend (1.53) durch r(r) = T] dv dr (1.61) gegeben. Die Schubspannung ist demnach in der Mantelfläche des Zylinders konstant und liefert die resultierende Kraft T = 2nrAlT = 2TTT]Alr dv dr (1.62) Bei stationärer Strömung tritt keine Beschleunigung auf. Daher ist die Summe der am Zylinder angreifenden Kräfte Null: irr pi + T — nr P2 = 0 dv dr Pi -P2 2r]Al (1.63) Die Geschwindigkeit folgt mit Ap — p\ - P2 durch Integration zu v(r) AP Ji irjAl r2+C. (1.64) ? '1. <?,)) .X vw •) "rax ^P^(r) __3/ -M b Abb. 1.43

1.3 Hydrodynamik 57 Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Bedingung, daß die Flüssigkeit an der Rohrwand haftet: V(R) = 0 -> C = Ap R\ Ar] Al (1.65) Damit ergibt sich das gesuchte Geschwindigkeitsprofil zu v(r) R2Ap 4r)Al -(b)' (1.66) Die Geschwindigkeitsverteilung hat somit die Form eines Rotationspa- raboloids. Die maximale Geschwindigkeit tritt in der Rohrachse (r = 0) auf: R2Ap 4r)Al (1-67) Da die Geschwindigkeit von innen nach außen abnimmt, ist dv/dr < 0. Somit fällt nach (1.63) der Druck in Strömungsrichtung: p2 < pi- Dieses Druckgefälle ist zur Aufrechterhaltung der Strömung erforderlich. Ebenfalls wegen v'(r) < 0 ist nach (1.62) T < 0. Daher wirkt die Schubspannung t in Wirklichkeit entgegen der in Abb. 1.43b angenommenen Richtung. Dies ist auch anschaulich klar, da die langsameren äußeren Flüssigkeitsteilchen die schnelleren inneren Teilchen durch die Reibung verzögern. Wir wollen nun noch den Völumenstrom Q bestimmen. Das pro Zeiteinheit durch einen infinitesimalen Kreisring mit dem Radius r und der Dicke dr strömende Volumen ist durch dQ = 2irrdrv(r) gegeben. Den gesamten Volumenstrom erhält man durch Integration: Q = I 2ixrv{r)är Q = ■KR^Ap 8r)Al (1.68) Diese Beziehung nennt man das Gesetz von Hagen-Poiseuille (G. Hagen, 1797-1884; J.L.M. Poiseuille, 1799-1869). Nach(1.68)ist der Volumenstrom proportional zur vierten Potenz des Rohrradius. Daher wird zum Beispiel bei einer Verdoppelung des Radius die Durchflußmenge sechzehnmal so groß.

58 1 Hydromechanik Für praktische Rechnungen bei Rohrströmungen ist es zweckmäßig, eine Widerstandszahl X einzuführen, mit deren Hilfe man den Druckabfall im Rohr quantitativ erfaßt. Sie wird durch Al Q o Ap=X — ^v2 (1.69) definiert. Dabei sind d der Durchmesser des Rohres und " = ^=8^ÄT=2üm- (L70) die mittlere Geschwindigkeit. Die Widerstandszahl stellt somit einen Proportionalitätsfaktor dar für den Zusammenhang zwischen dem Druckabfall Ap längs einer Strecke Al, dem Rohrdurchmesser d und dem mit der mittleren Geschwindigkeit v gebildeten Staudruck. Die Widerstandszahl X hängt mit der entsprechend (1.55) gebildeten Druckverlustzahl Ap C = ~^n gemäß C = A^ (1.71) zusammen. Wenn man (1.69) in (1.70) einsetzt und nach X auflöst, so erhält man A=^- (1.72) gvd Da A dimensionslos ist, muß auch die Größe (1.73) Re=^ V dimensionslos sein. Man nennt Re die Reynoldszahl (O. Reynolds, 1842- 1912). Damit folgt für die Widerstandszahl

1.3 Hydrodynamik 59 Die Erfahrung zeigt, daß dieser Zusammenhang nur unterhalb einer bestimmten kritischen Reynoldszahl (also zum Beispiel bei hinreichend kleiner Strömungsgeschwindigkeit) gilt. Bei größeren Reynoldszahlen ist die Widerstandszahl größer als die nach (1.74) berechnete. Dabei ändert sich die Strömungsform: die laminare Strömung schlägt in turbulente Strömung um. Während sich bei laminarer Strömung alle Flüssigkeitsteilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf achsparallelen Geraden bewegen, vermischen sich bei turbulenter Strömung die nebeneinanderfließenden Schichten ständig. 1.3.3.4 Strömung in offenen Gerinnen Bei der Strömung in einem Rohr ist die Flüssigkeit überall von einer festen Rohrwand umgeben. Im Gegensatz dazu tritt bei der Strömung in offenen Gerinnen, wie zum Beispiel Flüssen oder Kanälen, eine freie Oberfläche auf. Sie stellt in den meisten praktisch wichtigen Fällen die Trennfläche zwischen Luft und Wasser dar. An ihr herrscht somit der Atmosphärendruck po- Die Strömung in einem offenen Gerinne wird meist durch ein Gefalle verursacht. Beim Abwärtsfließen wird die potentielle Energie der höher liegenden Flüssigkeitsteilchen in kinetische Energie umgewandelt bzw. zur Überwindung der inneren Reibung aufgewendet. Wir wollen im folgenden voraussetzen, daß die Strömung stationär ist. Dann hängt auch der Volumenstrom Q für einen beliebigen Querschnitt nicht von der Zeit ab. Man nennt eine stationäre Strömung gleichförmig, wenn die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung konstant ist (v2 = v\). Dagegen heißt sie beschleunigt, wenn die Geschwindigkeit zunimmt (v2 > vi) bzw. verzögert, wenn sie abnimmt (% < v\). Nach der Kontinuitätsgleichung ist bei einer gleichförmigen Strömung der Querschnitt konstant, während er bei einer beschleunigten (verzögerten) Strömung abnimmt (zunimmt), vgl. Abb. 1.44. gleichförmige Strömung beschleunigte Strömung verzögerte Strömung Abb. 1.44

60 1 Hydromechanik Leitstrom- 'linie A/sirta Abb. 1.45 Wir wollen uns im folgenden mit der gleichförmigen Strömung in einem rechteckigen offenen Gerinne der Breite b befassen. Das Gerinne habe ein konstantes schwaches Gefälle, das durch den Winkel a <c 1 gegeben ist (Abb. 1.45a). Die konstante Wassertiefe sei t. Weiterhin sei v die mittlere Geschwindigkeit in einem Querschnitt. Wir wählen nun diejenige Stromlinie als Leitstromlinie, auf der die Geschwindigkeit der Teilchen gerade die mittlere Geschwindigkeit v ist. Wenn wir berücksichtigen, daß bei gleichförmiger Strömung die Geschwindigkeit konstant ist, dann erhalten wir aus der verallgemeinerten Bernoullischen Gleichung (1.54) für zwei Punkte ® und ® auf der Leitstromlinie zunächst QQZ\ +Pi = ggz2+P2 + &Pv (1.75) Wir nehmen nun an, daß die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Dann gilt auf der Leitstromlinie p = pi =P2 =Po + egt* ■ (1.76) Ein Druckgefälle in Strömungsrichtung ist somit nicht vorhanden. Durch Einsetzen in (1.75) können wir den Energieverlust (= Druckverlust) bestimmen: Apv = gg(zi — z2) = ggAisina. Nach (1.37) stellt (1.77) v P H= — + -^+z 2g Qg (1.78)

1.3 Hydrodynamik 61 die hydraulische Höhe dar. Mit p nach (1.76) und z = t — t* folgt daraus H=£-+*>-+t. (1.79) Da der Atmosphärendruck p0 an jeder Stelle gleich ist, braucht er beim Vergleich der hydraulischen Höhen verschiedener Querschnitte nicht berücksichtigt zu werden. Somit vereinfacht sich (1.79) zu v2 Bei gleichförmiger Strömung sind die Geschwindigkeit v und die Tiefe t unabhängig vom Ort. Daher ist in diesem Fall die hydraulische Höhe konstant: H= — +t = const. (1.80) 29 Die Geschwindigkeit v läßt sich durch den Volumenstrom Q ausdrücken: Q Q = bt cosav « btv —> v = ~— . (1-81) bt Durch Einsetzen in (1.80) erhält man schließlich O2 t3 - Ht2 + k = 0 mit k= ~,. (1.82) 2g b2 Diese Beziehung muß bei gleichförmiger Strömung zwischen den Parametern b, t, Q und H erfüllt sein. Bei gegebenen Werten von b, t und Q können die Geschwindigkeit v aus (1.81) und die hydraulische Höhe H aus (1.80) bestimmt werden. Sind dagegen b, Q und H gegeben, so stellt (1.82) eine kubische Gleichung für die Wassertiefe t dar. Um zu untersuchen, für welche Parameterwerte die Gleichung (1.82) positive reelle Lösungen t besitzt, skizzieren wir die Funktion y = t3-Ht2+k (1.83)

62 1 Hydromechanik für verschiedene Werte von H (Abb. 1.45b). Die Funktion y(£) hat an der Stelle £ = 2///3 das Minimum 4H3 O2 ^ = -^r + ^ a84) und bei £ = 0 das Maximum ymax = k. Damit positive Werte für die Wassertiefe existieren, muß 2/min < 0 gelten. Daher folgt nach (1.84) für die hydraulische Höhe (1.85) Die hydraulische Höhe, d.h. die Strömungsenergie, muß somit einen Mindestwert Hg erreichen, damit eine gleichförmige Strömung möglich ist. Die zugehörigen Werte für die „Grenztiefe" £0 und die „Grenzgeschwindigkeit" vo ergeben sich zu 2 O2 ¢0 = 3¾ -»• <o = {/-^, (1-86) Vo = u~" ÄTV^^ -»■ v° = rfih- (1-87) bt0 bto Ist H > Ho, so existieren zu einer gegebenen Strömungsenergie zwei verschiedene Wassertiefen ti und t2 (Abb. 1.45b). Entweder fließt das Wasser bei einer kleinen Tiefe tx < t0 mit großer Geschwindigkeit vi > ^o, oder es fließt bei einer großen Tiefe £2 > *o mit kleiner Geschwindigkeit V2 < vq- Im ersten Fall spricht man von schießendem Abfluß (Wildbäche), im zweiten Fall von strömendem Abfluß (Flüsse). In der Natur treten häufig Störungen der gleichförmigen Bewegung auf. So kann zum Beispiel ein kleiner Knick in der Sohle eine nahezu plötzliche Erhebung des Wasserspiegels verursachen (Abb. 1.46a). Diese Erscheinung wird als Wassersprung bezeichnet. Zur Untersuchung des Wassersprungs wenden wir den Impulssatz auf das in Abb. 1.46b dargestellte Kontrollvolumen an. Dabei nehmen wir wieder an, daß die Druckverteilung im Querschnitt durch die statische Druckverteilung nach (1.5) gegeben ist. Außerdem vernachlässigen wir die in Strömungsrichtung zeigende Komponente der Gewichtskraft (geringe Neigung!) sowie die Schubspannungen an den Berandungen des Kontrollvolumens. Dann lautet der Impulssatz: -Qgt\b - -Qgt\b = gvibh(v2 - vi). (1.88)

1.3 Hydrodynamik 63 Abb. 1.46 Wenn wir die Geschwindigkeit v2 mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung v\tib = v2t2b h v2 = —vx t2 eliminieren, so erhalten wir daraus \g(ti + t2)(ti-t2) = v21j- *2+*l*2 — =0. (1.89) Durch Auflösen dieser quadratischen Gleichung folgt für die Tiefe t2 hinter dem Wassersprung lt 2txvj —!<->Vi+ , (1.90) Da 12 positiv sein muß, ist nur das Pluszeichen vor der Wurzel physikalisch sinnvoll. Vor dem Wassersprung fließt das Wasser bei der kleineren Tiefe t\ < t2 mit der größeren Geschwindigkeit v\ > V2- Daher tritt ein Wassersprung nur bei einem schießenden Abfluß auf.

2 Grundlagen der Elastizitätstheorie In Band 2 haben wir uns schon mit Problemen der Elastostatik befaßt, wobei wir uns dort im wesentlichen auf die Untersuchung von Stäben und Balken beschränkt haben. Um weitergehende Fragen behandeln zu können, sollen hier die Grundlagen der linearen Elastizitätstheorie zusammengestellt werden. Das Beiwort „ linear" deutet dabei an, daß sich diese Theorie auf das linear elastische Stoffgesetz sowie auf kleine (infinitesimale) Verzerrungen beschränkt. Hinsichtlich der praktischen Anwendung wird hierdurch ein großer Bereich von Ingenieurproblemen abgedeckt. 2.1 Spannungszustand 2.1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor, Indexschreibweise Den Spannungsvektor und den Spannungstensor haben wir in Band 2, Abschnitt 2.1 schon kennengelernt. Der Spannungsvektor im Punkt P eines Schnittes ist definiert als AF dF t= hm -_ = __, (2.1) a.4->o AA dA wobei AF die Kraft ist, welche auf die Räche AA wirkt (Abb. 2.1a). Er hängt von der Orientierung des Schnittes durch P ab, die durch den Normaleneinheitsvektor n charakterisiert ist: t = t(n). Man kann t zerlegen in eine Komponente a senkrecht (normal) zur Schnittfläche und in eine tangentiale Komponente r, die in der Schnittfläche wirkt. Die erste heißt Normalspannung, die zweite nennt man Schubspannung. Der Spannungstensor a ist durch die Spannungsvektoren in drei senkrecht aufeinanderstehenden Schnitten festgelegt. Wählen wir nach Abb. 2.1b die Schnitte senkrecht zu den Achsen eines x, y, 2-Koordi- natensystems und zerlegen wir die zugehörigen Spannungsvektoren in ihre kartesischen Komponenten, so kann er in folgender Matrixform dargestellt werden:

2.1 Spannungszustand 65 AF W Abb. 2.1 ^11 Tyx T~zx Txy Oyy TZy Txz Tyz ozz (2.2) Dabei werden die Normalspannungen oxx, ayy, azz oft kurz mit ax, ay, oz bezeichnet. Aufgrund des Momentengleichgewichts ist der Spannungstensor symmetrisch: rxy = ryx, ryz = rzy, rzx = txz. Für die Spannungskomponenten wollen wir dieselbe Vorzeichenkonvention wie bisher verwenden (Band 2, Abschn. 2.1). Für das weitere ist es zweckmäßig, die Indexnotation einzuführen. Sie ermöglicht eine kompakte Schreibweise vieler Formeln. Hierbei werden die kartesischen Koordinaten an Stelle von x, y, z durch xi, x2, x$ gekennzeichnet; d.h. die drei Richtungen sind durch die Indizes 1, 2, 3 festgelegt (Abb. 2.1 b,c). Entsprechendes gilt für die Komponenten eines Vektors. Zum Beispiel lauten die Komponenten des Spannungsvektors t dann ti, t2, t3 oder allgemein U mit i = 1,2,3. Damit gilt t = tiei + t2e2 + t3e3 oder t = [U] = (2.3) Da durch U alle drei Komponenten repräsentiert werden, kann diese Größe auch als Symbol für den Vektor selbst verwendet werden. Ahn-

66 2 Grundlagen der Elastizitätstheorie lieh läßt sich der Normaleneinheitsvektor n mit den Komponenten 7ii = cosari, 7i2 = cosar2, 713 = cos «3 (Abb. 2.1c) kurz durch n, beschreiben: n = \rii\ = 71! n2 n3 = cosaj cosa2 COS «3 (2.4) Analoges gilt für den Spannungstensor. Seine Komponenten nennen wir nun an, ax2, au usw. (Abb. 2.1b) oder allgemein o^ mit i, j = 1,2,3: Oll <7l2 <7l3 (721 "22 0-23 C31 <732 0-33 (2.5) Dabei zeigen jetzt allein die Indizes an, ob es sich um eine Normalspannung oder um eine Schubspannung handelt. Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, ungleiche Indizes Schubspannungen. Die Größe <7jj repräsentiert wieder alle Spannungskomponenten und kann deshalb als Symbol für den Spannungstensor selbst angesehen werden. Mit Hilfe der Indexnotation läßt sich die Symmetrie des Spannungstensors einfach durch (2.6) ausdrücken. Eine besondere Bedeutung gewinnt die Indexnotation im Zusammenhang mit der Summationskonvention. Danach wollen wir vereinbaren, daß zu summieren ist, wenn in einem Term der gleiche Index doppelt auftritt. Der Index durchläuft dabei der Reihe nach die Werte 1,2,3. Dementsprechend bedeutet zum Beispiel a^rij wegen des doppelt vorkommenden Index „j" ausgeschrieben aiini — z2 aji ni = °i« ni + a2i n2 + <T3i m ■ (2.7) 3 = 1 Dabei kann der Summationsindex „j" durch einen beliebigen anderen Index (zum Beispiel,,/;;") ausgetauscht werden: CTfcjn*. = 0^7¾. Andere Beispiele zur Anwendung der Summationskonvention sind

2.1 Spannungszustand 67 du = 2_^ (Tu = CTn + (722 + CT33 , i=l 3 tk nk — ^2 *fc nk = *!«!+ *2 "2 + *3 "3 Y (2.8) fc=l Letzteres stellt das Skalarprodukt der Vektoren tk und nj. dar: t • n = tfc rifc. In Verbindung mit der Indexnotation benötigt man manchmal das Kronecker-Symbol. Es ist definiert als *»-{iS^: Damit gelten zum Beispiel $. = <5n +$22 + ½ = 3 und 6ijnj=ni. (2.10) Wir wollen nun zeigen, daß bei Kenntnis des Spannungstensors der Spannungsvektor für jede beliebige Schnittrichtung ermittelt werden kann. Hierzu betrachten wir das Gleichgewicht am infinitesimalen Tetraeder nach Abb. 2.2, dessen Fläche dA eine beliebige, durch n, gegebene Orientierung hat. Für die übrigen Tetraederflächen erhält man mit (2.4) durch Projektion von dA auf die Koordinatenebenen dAi = dA rix, dA2 = dAn2, dA3 = dA «3 oder allgemein dAi = dAni. (2.11) Abb. 2.2

68 2 Grundlagen der Elastizitätstheorie Die Gleichgewichtsbedingungen in x\-, x2- und X3-Richtung ti dA = an dAi + a21 dA2 + a31 dA3 , t2 dA = 0\2 dAi + (T22 dA2 + Cr32 d^3 , t3 dA = ai3 dAi + a23 dA2 + a33 dA3 liefern damit h = o\\ n\ + <72i n2 + <73in3 , t2 = o\2 n\ + 022 n2 + a32n3 , t3 = 0\z ni + a23 n2 + a33n3 . (2.12a) Diese Gleichungen lassen sich unter Verwendung der Index schreib weise und der Summationskonvention kompakt in der Form U jji'i] (2.12b) darstellen, wobei wegen (2.6) die Indizes von a^ auch vertauscht werden können: ti = o-^rij. Diese Beziehung wird häufig als Cauchysche Formel bezeichnet (A.L. Cauchy, 1789-1857). Danach ist bei gegebenem Spannungstensor a^ jedem Normalenvektor nj ein Spannungsvektor ti zugeordnet, d.h. der Spannungszustand ist durch cr,j tatsächlich vollständig bestimmt. Durch (2.12b) wird eine lineare Beziehung (Abbildung) zwischen den Vektoren rij und tj beschrieben. Eine Größe, welche eine solche Abbildung vermittelt, nennt man einen Tensor 2. Stufe. Die lineare Vektorfunktion (2.12b) kennzeichnet a^ dementsprechend als Tensor 2. Stufe. Angemerkt sei noch, daß die Cauchysche Formel mit (2.3) bis (2.5) auch in der symbolischen Schreibweise T er n (2.12c) angegeben werden kann. Wegen der Symmetrie des Spannungstensors (crT = er) kann dabei aT durch er ersetzt werden: t — trn. Beispiel 2.1: Der Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers sei durch Ci,- = 36 -27 0 -27 -36 0 0 0 18 MPa gegeben.

2.1 Spannungszustand 69 Für einen Schnitt mit dem Normalenvektor [rii] = |[2, —2,1]T sollen der Spannungsvektor sowie seine normale bzw. tangentiale Komponente bestimmt werden. Lösung: Nach (2.12) erhält man für die Komponenten des Spannungsvektors 2 „„ 2 3+273 2 „„ 2 *i = Vji nj:= 36 • - + 27 ■ - = 24 + 18 = 42 MPa , £2=0-,-2^7 = -27- -+36-- = -18+ 24 = 6MPa, = 3 3 == h — &j3 fij = 18 • - = 6 MPa. Sein Betrag ergibt sich daraus zu t=\t\ = -y/*? + *!+*§ = 42,8 MPa. Die Normalspannung <r errechnet sich aus dem Skalarprodukt von t und n: 2 2 1 <7 = t ■ n = Urii =42 6 h 6 • - = 26 MPa . 3 3 3 = Für den Betrag der Schubspannung folgt damit t = \A2 - ff2 = 34,1 MPa. 2.1.2 Koordinatentransformation Wie sich die Komponenten des Spannungstensors bei einer Drehung des Koordinatensystems transformieren, wurde für den zweiachsigen Fall in Band 2, Abschnitt 2.2.1 behandelt. Hier sollen nun die entsprechenden Beziehungen für den dreiachsigen Zustand hergeleitet werden. Wir gehen davon aus, daß die Spannungskomponenten aij bezüglich des Koordinatensystems x\, x^, x$ bekannt sind. Aus ihnen sollen die Spannungskomponenten CTfc'i' bezüglich des gedrehten Koordinatensystems x[, x'2, x'3 ermittelt werden (Abb. 2.3a). Die Richtungen der neuen Achsen werden durch die Einheitsvektoren

70 2 Grundlagen der Elastizitätstheorie ^ *' \ Abb. 2.3 Ol'l ßl'2 _ßl'3. > e2 — ß2'l Ö2'2 _ß2'3. . 4 = ß3'l ß3'2 ß3'3. (2.13) festgelegt, wobei die Transformationskoeffizienten a^i = cos(x'k,xi) die Richtungskosinus (= Kosinus des Winkels zwischen den entsprechenden Achsen) sind. Wir betrachten nun das Tetraeder nach Abb. 2.3b, dessen geneigte Fläche senkrecht zu x[ steht. Ihr Normalenvektor fällt mit e[ zusammen: nk = a^k- Damit liefert die Cauchysche Formel für die Komponenten des Spannungsvektors (bzgl. des x\, 3¾. ^3-Systems) U — <?ki nk = cm ßi'fc ■ Seine Komponenten bezüglich des x'x-, x2-, x^-Systems lauten "Vi' =t ■ e1 = t\ ayx + £2 ßi'2 + £3 ai'3 = ti ai'j = crki a\'k ayi, Cl'2' = t • e2 = 11 a.2'1 + t2 Ö2'2 4- £3 a2'3 = h a,2'l — Okl Ol'fc 0,2'l , Oyy = t ■ e3 = <i 03'i + t2 a.3'2 + *3 a3'3 = U G3'J = Ofci Ol'fe O-3'l ■ Entsprechende Beziehungen ergeben sich für die Schnittflächen senkrecht zur x'2- bzw. zur X3-Acb.se. Insgesamt erhält man daher die Transformationsbeziehungen CTi'j' = CTfcf ßj'fe Oj'i (2.14) Da auf der rechten Seite k und l doppelt vorkommen, muß über beide Indizes summiert werden. Ausgeschrieben ergibt sich danach zum Beispiel für<72'2':

2.1 Spannungszustand 71 <72'2' = 011 G2'l + a12 °2'1 «2'2 + Ö"i3 Ü2'l Ö2'3 2 +°"21 a2'2 a2'l 4- °"22 Q>2'2 ~^~ a23 a2'2 a2'3 2 +Ö31 G2'3 a2'l + °32 ß2'3 a2'2 + O33 a2'3 2 2 2 = ou a2'i + o-tt a2>2 + °33 a2'3 +2CT12 ß2'l ß2'2 + 2(723 °2'2 ß2'3 + 2(731 02'3 ß2'l - Als Sonderfall sind in (2.14) die Transformationsbeziehungen für den ebenen Fall (vgl. Band 2, Gl. (2.5)) enthalten, bei dem eine Drehung um die X3-Achse erfolgt (Abb. 2.4). Mit x'3 = X3 und dem Drehwinkel tp gelten Ol'l = <J2'2 = cos tp , ßi'2 = cos (n/2 — tp) = sin tp, a2'\ = cos (7r/2 4- ip) — — sin <£, ßl'3 =ß3'l = ß2'3 = a.3'2 = 0, und man erhält unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x\ = £ und x'2 = 7] 0(_ = o\i\> = an cos2 tp + CT22sin >p + 2ai2sin<pcostp, o-n = C2'2' — C11 sin2 <p + CT22 cos2y? — 2cti2 sin <p cos tp, (2.15) 7¾ = 0V2' = —(011 - <t22) sintpcostp + ct12(cos2 tp - sin2 <^>). Angemerkt sei an dieser Stelle noch, daß die Transformationsbeziehung (2.14) lediglich die Änderung der kartesischen Komponenten des Spannungstensors infolge einer Koordinatendrehung ausdrückt. Die Beziehung (2.14) gilt deshalb genauso für alle anderen Tensoren 2. Stufe (vgl. zum Beispiel Trägheitstensor, Band 3, Gl. (3.54)). Im Unterschied Abb. 2.4

72 2 Grundlagen der Elastizitätstheorie dazu transformiert sich ein Tensor 1. Stufe t). (= Vektor) nach der Beziehung tv = tk a,i>k. 2.1.3 Hauptspannungen, Invarianten, Mohrsche Kreise Der Spannungstensor kann nach (2.14) in Bezug auf beliebig viele Achsensysteme angegeben werden. Unter ihnen gibt es ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, das als Hauptachsensystem bezeichnet wird. In den zugehörigen Schnitten hat der Spannungsvektor die Richtung des Normalenvektors. Das heißt, es wirken nur Normalspannungen - man nennt sie Hauptspannungen -, und die Schubspannungen sind Null. Kennzeichnet der Normalenvektor n, eine Hauptachsenrichtung (Hauptrichtung), so läßt sich der Spannungsvektor durch tj = arii ausdrücken, wobei <7 die entsprechende Hauptspannung ist. Nach der Cauchyschen Formel (2.12b) gilt allgemein U = Oijfij. Durch Gleichsetzen erhalten wir aijUj = crrii bzw. cr,j rij — atii = 0 . Mit 7ij = öijUj (vgl. (2.10)) ergibt sich daraus ((Tij — a Sij)n,j = 0 (2.16) oder ausgeschrieben (<7U - a)nx + (7^2712 + <7l3«3 = 0 , "2l7ll + ("22 ~ o)7l2 +<723«3 = 0, (2.17) 03l7Xl +CT32712 + (033 - cr)n3 = 0. Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen für n\, 7i2,713, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet: (TU — CT CT12 CT13 "21 022 — a (T23 "31 "32 "33 — " 0. (2.18) Hieraus folgt die kubische Gleichung <73 - /iCT2 -72T-/3=0. (2.19)

2.1 Spannungszustand 73 Darin sind ^1 = Ott — Oll + ^22 + 033 > h^^ij^ij -CiiCfji) = — (<Tn<722 + 022<?33 +CT33CT11) + CT12 +<T23 + °31 ' /3 = det[a-i;] 011 012 ^13 021 022 ^23 031 032 «33 (2.20) Da die Lösungen von (2.19) unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems sind, trifft dies auch auf J1( I? und /3 zu. Man bezeichnet diese Größen deshalb als Invarianten. Man kann zeigen, daß (2.19) drei reelle Lösungen o\, 02. "3 für die Hauptspannungen liefert. Diese sind Stationärwerte der Normalspannung: eine Hauptspannung ist die maximale Normalspannung, eine andere ist die minimale Normalspannung, und die dritte ist ein dazwischenliegender Stationärwert. Der zu einer Hauptspannung, zum Beispiel zu (72, gehörige Normalenvektor kann aus zwei beliebigen Gleichungen von (2.17) unter Beachtung von n\ + n\ + n§ = 1 ermittelt werden. Entsprechendes gilt für