মুখ্য Technische Mechanik. Festigkeitslehre

Technische Mechanik. Festigkeitslehre

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ক্যাটাগোরিগুলো:
সাল:
2008
প্রকাশক:
Vieweg+Teubner Verlag
ভাষা:
german
পৃষ্ঠা:
221
ISBN 10:
3834804541
ISBN 13:
9783834804549
ফাইল:
PDF, 3.47 MB
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1

Keine Panik vor Statistik!

সাল:
2008
ভাষা:
german
ফাইল:
PDF, 8.11 MB
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2

Design Of Nonlinear Control Systems With The Highest Derivative In Feedback

সাল:
2004
ভাষা:
english
ফাইল:
DJVU, 3.28 MB
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Hans Albert Richard | Manuela Sander
Technische Mechanik. Festigkeitslehre

Aus dem Programm

Mechanik

Klausurentrainer Technische Mechanik I-III
von J. Berger
Lehrsystem Technische Mechanik
mit Lehrbuch, Aufgabensammlung, Lösungsbuch
sowie Formeln und Tabellen.
von A. Böge und W. Schlemmer
Technische Mechanik Statik
von G. Holzmann, H. Meyer und G. Schumpich
Technische Mechanik Festigkeitslehre
von G. Holzmann, H. Meyer und G. Schumpich
Technische Mechanik Kinematik und Kinetik
von G. Holzmann, H. Meyer und G. Schumpich
Einführung in die Festigkeitslehre
von V. Läpple
Grundlagen der Technischen Mechanik
von K. Magnus und H. H. Müller-Slany
Technische Mechanik. Statik
von H. A. Richard und M. Sander
Technische Mechanik. Dynamik
von H. A. Richard und M. Sander
Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung
von W. Weißbach
Technische Mechanik kompakt
von P. Wriggers, U. Nackenhorst, S. Beuermann,
H. Spiess und S. Löhnert

www.viewegteubner.de

Hans Albert Richard | Manuela Sander

Technische Mechanik.
Festigkeitslehre
Lehrbuch mit Praxisbeispielen,
Klausuraufgaben und Lösungen
2., erweiterte Auflage
Mit 180 Abbildungen
STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

Die Verfasser haben alle Texte, Formeln und Abbildungen mit größter Sorgfalt erarbeitet. Dennoch
können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Deshalb übernehmen weder die Verfasser noch der
Verlag irgendwelche Garantien für die in diesem Buch abgedruckten Informationen. In keinem Fall
haften Verfasser und Verlag für irgendwelche direkten oder indirekten Schäden, die aus der Anwendung
dieser Informationen folgen.

1. Auflage 2006
2., erweiterte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander
Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Busin; ess Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und
Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heußenstamm
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0454-9

V

Vorwort
Das vorliegende Lehr- und Übungsbuch „Technische Mechanik – Festigkeitslehre“ mit anwendungsnahen Beispielen, Prüfungsaufgaben und Lösungen stellt den zweiten Teil eines
dreibändigen Lehrbuches der Technischen Mechanik dar. Das didaktische Konzept des ersten
Bandes „Technische Mechanik – Statik“ wird dabei konsequent fortgesetzt. Unter dem Motto
„Lasst Bilder und Skizzen sprechen“ werden auch hier in einem Anfangskapitel Fragestellungen und Probleme der Festigkeitslehre dargestellt und formuliert. Dies soll die Motivation, sich
mit dem Inhalt des Buches auseinander zu setzen, erhöhen und es dem Leser von Anfang an
ermöglichen, auch notwendige Details in einem Gesamtzusammenhang zu sehen. Erst nach
diesem Anfangskapitel werden dann alle wesentlichen Grundlagen und ihre Anwendungen
dargestellt.
Diese Vorgehensweise hat sich in zahlreichen Lehrveranstaltungen, welche von den Autoren
an der Universität Paderborn für Ingenieursstudenten der Fächer Maschinenbau, Wirtschaftsingenieurwesen, Elektrotechnik und Studierende angrenzender Gebiete, wie Technomathematik und Ingenieurinformatik, gehalten werden, bewährt. Sie führt zu einer hohen Aufmerksamkeit von Beginn an und einer aktiven Mitwirkung der Studierenden in Vorlesungen und Übungen.
Im Wesentlichen beschäftigt sich dieses Buch mit der Festigkeitsberechnung von Bau- und
Maschinenteilen sowie verformbaren tragenden Strukturen. Betrachtet werden Belastungsarten
und Belastungsfälle, Spannungen, Verzerrungen und Stoffgesetze. Weiterhin behandelt werden idealisierte Bau- und Maschinenteile wie Zug- und Druckstäbe, Stabsysteme, Balken und
balkenartige Tragwerke bei Biegebelastung, Stäbe und Balken bei Torsionsbelastung und
Stabilitätsprobleme bei Stäben und Balken. Dem schließt sich eine Untersuchung von ebenen
Spannungs- und Verzerrungszuständen, von zusammengesetzten Beanspruchungen sowie von
Formänderungsarbeit und elastischer Energie an.
Das Buch wendet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften und angrenzender Gebiete
an Universitäten und Fachhochschulen. Es ist aber auch als Ratgeber für in der Praxis tätige
Ingenieure gedacht, welche die Gelegenheit nutzen wollen, die wichtigen Grundlagen der
Mechanik im Hinblick auf ihre derzeitigen Tätigkeiten in der Forschung, Produktentwicklung,
Konstruktion und Berechnung aufzufrischen.
Die Technische Mechanik ist nicht allein durch das Lesen eines Buches erlernbar. Notwendig
sind das selbständige Bearbeiten und Lösen von Fragestellungen. Dieses Buch soll daher auch
als Arbeitsanleitung verstanden werden. Die zahlreichen Beispiele können und sollen vom
Leser nachvollzogen werden. Durch *** gekennzeichnete Beispiele behandeln prüfungsrelevante Inhalte. Des Weiteren wird dem Lernenden anhand von formulierten Klausuraufgaben
die Möglichkeit gegeben, völlig selbständig Fragestellungen und Probleme der Festigkeitslehre
zu lösen und somit den eigenen Kenntnisstand zu überprüfen.
In diesem Sinne wünschen wir Ihnen viel Freude beim Erlernen und beim Anwenden der
Technischen Mechanik.

VI

Vorwort zur 2. Auflage

Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Frau cand.-Ing. Melanie Stephan für das Zeichnen der
Bilder und das Übertragen der Texte und Formeln in das Manuskript. Den derzeitigen und den
ehemaligen Mitarbeitern der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universität Paderborn
danken wir für die Anregungen zu einigen Beispielen und Prüfungsaufgaben.
Weiterhin gilt unser Dank dem Vieweg Verlag für die gewährte Unterstützung und insbesondere Herrn Thomas Zipsner für das Lektorat und die wertvollen Hinweise.
Paderborn, März 2006

Hans Albert Richard und Manuela Sander

Vorwort zur 2. Auflage
Die positive Resonanz auf die erste Auflage hat uns dazu bewogen, das Grundkonzept des
Lehrbuches „Technische Mechanik – Festigkeitslehre“ konsequent fortzusetzen. Wir sind
dankbar für die Hinweise, die dazu führten, dass kleinere Fehler beseitigt werden konnten.
Aufgrund von Vorschlägen wurden auch einige Erweiterungen vorgenommen. Diese betreffen
die Beispiele, die Klausuraufgaben und die Übersicht über die verwendeten Formelzeichen.
Danken möchten wir den Fachkollegen und den Studierenden für ihre Kommentare, den Mitarbeitern der Fachgruppe Angewandte Mechanik für die Anregungen, dem Vieweg+Teubner
Verlag für die gewährte Unterstützung und insbesondere Herrn Thomas Zipsner für die konstruktiven Diskussionen.
Dem Leser wünschen wir viel Erfolg beim Erlernen und Anwenden der Technischen Mechanik.
Paderborn, März 2008

Hans Albert Richard und Manuela Sander

VII

Inhaltsverzeichnis
1

Fragestellungen der Festigkeitslehre

1

2

Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung .............................................................. 6
2.1 Vorgehensweise beim Festigkeitsnachweis................................................................ 6
2.2 Äußere Belastung von Bau- und Maschinenteilen ..................................................... 7
2.2.1 Gesamtbelastungen........................................................................................ 8
2.2.2 Belastungsarten.............................................................................................. 8
2.2.3 Belastungsfälle .............................................................................................. 9
2.3 Wirksame Spannungen............................................................................................. 11
2.4 Werkstoffkennwerte ................................................................................................. 11
2.5 Zulässige Spannungen.............................................................................................. 11

3

Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze...................................................................... 12
3.1 Spannung als verteilte innere Kraft .......................................................................... 12
3.2 Allgemeine Spannungsdefinition ............................................................................. 13
3.3 Normal- und Schubspannungen beim Zugstab......................................................... 15
3.4 Verschiebungen und Verzerrungen .......................................................................... 17
3.4.1 Verformungen bei einachsigem Zug ........................................................... 17
3.4.2 Verformungen durch Schubbelastungen ..................................................... 19
3.4.3 Allgemeine Formänderungen: Verzerrungen .............................................. 20
3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze............... 21
3.5.1 Zugversuch .................................................................................................. 21
3.5.2 Spannungs-Dehnungs-Kurven für verschiedene Materialien...................... 23
3.5.3 Elastisches und nichtelastisches Materialverhalten ..................................... 24
3.5.4 HOOKEsches Gesetz bei Zug ..................................................................... 25
3.5.5 Querdehnung ............................................................................................... 25
3.5.6 Volumendehnung ........................................................................................ 26
3.5.7 HOOKEsches Gesetz bei Schub.................................................................. 26
3.6 Wärmedehnung und Wärmespannung ..................................................................... 29

4

Stäbe und Stabsysteme.................................................................................................... 32
4.1 Spannungen und Verformungen bei Stäben ............................................................. 32
4.1.1 Stäbe mit konstanter Normalkraft und konstantem Querschnitt.................. 32
4.1.2 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt......................................................... 33
4.1.3 Stäbe mit veränderlicher Belastung ............................................................. 35
4.2 Statisch bestimmte Stabsysteme ............................................................................... 38
4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme ........................................................................... 40
4.3.1 Verschiebungsmethode................................................................................ 40
4.3.2 Superpositionsmethode................................................................................ 42
4.4 Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme ........................................... 46
4.4.1 Reihenschaltung von Stäben........................................................................ 46
4.4.2 Parallelschaltung von Stäben....................................................................... 48

VIII

Inhaltsverzeichnis

4.5

4.4.3 Kombinationen ............................................................................................ 50
Festigkeitsnachweis bei Stäben ................................................................................ 53

5

Biegung von Balken und balkenartigen Tragwerken................................................... 56
5.1 Schnittgrößen und ihre Wirkung .............................................................................. 56
5.2 Normalspannung infolge des Biegemoments ........................................................... 57
5.2.1 Berechnung der Normalspannung ............................................................... 57
5.2.2 Unterscheidung von einachsiger und/oder schiefer Biegung ...................... 61
5.2.3 Biegespannungsverteilung und maximale Biegespannung bei einachsiger
Biegung........................................................................................................ 62
5.2.4 Festigkeitsnachweis bei Biegung................................................................. 63
5.3 Flächenträgheitsmomente ......................................................................................... 66
5.3.1 Definition der Flächenträgheitsmomente..................................................... 66
5.3.2 Berechnung der Flächenträgheitsmomente einzelner
Querschnittsprofile ...................................................................................... 67
5.3.3 Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente bei Biegung ............. 70
5.3.4 Flächenträgheitsmomente für parallel verschobene Bezugsachsen ............. 72
5.3.5 Flächenträgheitsmomente beliebig zusammengesetzter
Querschnittsflächen ..................................................................................... 74
5.3.6 Flächenträgheitsmomente für gedrehtes Bezugssystem .............................. 78
5.3.7 Hauptachsen und Hauptträgheitsmomente .................................................. 80
5.4 Biegeverformungen von Balken ............................................................................... 82
5.4.1 Differentialgleichungen der Biegelinie........................................................ 83
5.4.2 Ermittlung der Biegelinie durch Integration der
Differentialgleichung................................................................................... 85
5.4.3 Einbereichsprobleme ................................................................................... 86
5.4.4 Mehrbereichsprobleme ................................................................................ 90
5.4.5 Biegelinien und Verformungen von grundlegenden
Balkenproblemen......................................................................................... 92
5.4.6 Ermittlung der Biegelinie durch Superposition grundlegender
Belastungsfälle............................................................................................. 94
5.4.7 Federkonstanten für Balken......................................................................... 98
5.5 Statisch unbestimmte Balkenprobleme..................................................................... 99
5.6 Schiefe oder zweiachsige Biegung ......................................................................... 102
5.6.1 Zweiachsige Biegung mit y und z als Hauptachsen ................................... 103
5.6.2 Zweiachsige Biegung für den Fall, dass y und z keine
Hauptachsen sind....................................................................................... 104

6

Schubbeanspruchungen ................................................................................................ 109
6.1 Schubbeanspruchung beim Abschervorgang.......................................................... 109
6.2 Schubspannungen bei Klebverbindungen .............................................................. 110
6.3 Schubspannungen beim Balken und bei balkenartigen Strukturen ........................ 112
6.3.1 Balken mit Vollquerschnitt........................................................................ 113
6.3.2 Balken mit dünnwandigen Profilen ........................................................... 115
6.3.3 Lage der Schubmittelpunkte bei dünnwandigen
Querschnittsprofilen .................................................................................. 119
6.4 Festigkeitsnachweis bei Schub ............................................................................... 119

Inhaltsverzeichnis

IX

7

Torsion von Wellen und Tragstrukturen .................................................................... 121
7.1 Wellen oder Strukturen mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt............................... 121
7.1.1 Berechnung der Schubspannung ............................................................... 122
7.1.2 Verdrehwinkel infolge Torsionsbelastung................................................. 124
7.1.3 Kreisringquerschnitt .................................................................................. 125
7.1.4 Torsionsfederkonstanten von Wellen ........................................................ 127
7.2 Strukturen mit beliebigem Querschnitt................................................................... 129
7.2.1 Schubspannungen und maximale Schubspannungen ................................ 130
7.2.2 Verdrehwinkel und spezifischer Verdrehwinkel ....................................... 130
7.2.3 Torsionsflächenträgheitsmomente und
Torsionswiderstandsmomente für grundlegende Querschnitte.................. 130
7.3 Festigkeitsnachweis bei Torsion............................................................................. 133

8

Mehrachsige und überlagerte Beanspruchungen ....................................................... 135
8.1 Einteilung der auftretenden Spannungszustände.................................................... 135
8.2 Ebener Spannungszustand...................................................................................... 136
8.2.1 Spannungen an einem Volumenelement ................................................... 136
8.2.2 Spannungen an einem gedrehten Volumenelement................................... 137
8.2.3 Hauptnormalspannungen........................................................................... 138
8.2.4 Hauptschubspannung................................................................................. 139
8.2.5 MOHRscher Spannungskreis .................................................................... 140
8.2.6 Sonderfälle des ebenen Spannungszustandes ............................................ 143
8.3 Ebener Verzerrungszustand.................................................................................... 148
8.4 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz ............................................................... 149
8.4.1 HOOKEsches Gesetz beim ebenem Spannungszustand............................ 149
8.4.2 HOOKEsches Gesetz beim ebenen Verzerrungszustand .......................... 150
8.5 Festigkeitsberechnung bei mehrachsigen Spannungszuständen............................. 151
8.5.1 Festigkeitsbedingung................................................................................. 152
8.5.2 Festigkeitshypothesen................................................................................ 152
8.6 Überlagerung grundlegender Belastungen ............................................................. 153
8.6.1 Zug- und Biegebelastung bei Balken und balkenartigen Strukturen ......... 154
8.6.2 Biege- und Torsionsbelastung von Wellen................................................ 158
8.6.3 Zug- und Torsionsbelastung in einer Rohrstruktur.................................... 162

9

Stabilitätsprobleme bei Stäben und Balken ................................................................ 165
9.1 Knicken von Stäben................................................................................................ 165
9.1.1 Ermittlung der Knickkraft ......................................................................... 166
9.1.2 Knickfälle nach EULER............................................................................ 168
9.1.3 Knickkraft, freie Knicklänge und Knickspannung .................................... 168
9.2 Kippen von Balken................................................................................................. 172

10 Energiemethoden........................................................................................................... 175
10.1 Arbeit der äußeren Kräfte: Formänderungsarbeit................................................... 176
10.2 Arbeit der inneren Kräfte: Elastische Energie ........................................................ 176
10.2.1 Elastische Energiedichte beim einachsigen Spannungszustand ................ 176
10.2.2 Elastische Energiedichte beim ebenen Spannungszustand........................ 178
10.2.3 Elastische Energiedichte bei reiner Schubbeanspruchung ........................ 178

X

Inhaltsverzeichnis
10.2.4 Elastische Energie bei Zug- oder Druckbelastung eines Stabs.................. 178
10.2.5 Elastische Energie bei Biegebelastung von Balken und
balkenartigen Strukturen............................................................................ 179
10.2.6 Elastische Energie bei Torsionsbelastung von Wellen und
Tragstrukturen ........................................................................................... 179
10.2.7 Elastische Energie bei überlagerter Belastung........................................... 180
10.3 Arbeitssatz der Elastostatik..................................................................................... 180
10.4 Satz von CASTIGLIANO ...................................................................................... 182
10.5 Satz von MENABREA........................................................................................... 186

11 Klausuraufgaben
188
11.1 Aufgabenstellungen ................................................................................................ 188
11.2 Ergebnisse............................................................................................................... 193
Anhang ................................................................................................................................... 200
A1 Werkstoffkennwerte für die Festigkeitsberechnung............................................... 200
A2 Sicherheitsfaktoren für die Festigkeitsberechnung................................................. 201
A3 Dichte, Querdehnzahlen und Wärmeausdehnungskoeffizienten
von Werkstoffen ..................................................................................................... 201
A4 Wichtige Formelzeichen......................................................................................... 202
Literatur ................................................................................................................................. 205
Sachwortverzeichnis.............................................................................................................. 206

1

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre
Die Technische Mechanik beschäftigt sich mit der Lehre von Kräften und Momenten sowie
den Bewegungen, Spannungen und Verformungen, welche diese bei Körpern, Bauteilen, Maschinen sowie anderen natürlichen oder technischen Strukturen hervorrufen. Die Festigkeitslehre ist ein wichtiges Teilgebiet der Technischen Mechanik. Sie beinhaltet die Lehre von den
Spannungen und Verformungen in Bauteilen und Maschinen und vergleicht diese mit den
zulässigen Materialkennwerten und den, z. B. in technischen Regelwerken festgelegten, Verformungsgrenzwerten.
Die Festigkeitslehre ist damit ein wichtiges Werkzeug für die ingenieurtechnische Bestimmung
•

der mindestens erforderlichen Bauteilabmessungen,

•

der zulässigen Belastungen von Maschinen und Strukturen,

•

der zu verwendenden Werkstoffe oder

•

der Sicherheiten gegen mögliches Werkstoff- und Bauteilversagen.

Sie baut dabei konsequent auf den Erkenntnissen der Statik auf. Für die Ermittlung der Verformungen muss allerdings die in der Statik verwendete Idealisierung der Bauteile und
Strukturen als starre Körper aufgegeben werden.
Die Grundlagen der Festigkeitslehre dienen dem Ingenieur im Wesentlichen dazu,
•

sich einen Überblick über die in einer Maschine oder einer tragenden Struktur vorliegenden Kraft- und Momentenübertragungsgegebenheiten zu verschaffen,

•

die Spannungsverteilungen und die maximalen Spannungen in Bauteilen zu bestimmen,

•

im Rahmen eines Festigkeitsnachweises die erforderlichen Abmessungen und / oder
die zulässigen Belastungen von Maschinen und Anlagen zu ermitteln,

•

die infolge der Belastung entstehenden Verformungen von Strukturen zu ermitteln
und mit maximal zulässigen Werten zu vergleichen sowie

•

die Sicherheiten gegen Bruch, Dauerbruch, plastische Verformung oder Instabilität zu
bestimmen.

Bevor die Grundlagen und Methoden der Festigkeitslehre beschrieben werden, sollen die Aufgaben des Ingenieurs im Folgenden anhand von Fragestellungen der Festigkeitslehre erläutert
werden.
Fragestellung 1-1 beschäftigt sich mit der Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs, Bild 1-1a.
Diese Radsatzwelle wurde bereits in Band 1: Technische Mechanik – Statik [1], Fragestellung
1-3, Beispiel 4-7 und Beispiel 5-4, eingehend untersucht. Dort wurden mit den Methoden der
Statik die Radaufstandskräfte A und B und die Querkraft- und Biegemomentenverläufe in der
Welle ermittelt. Das maximale Biegemoment Mmax, Bild 1-1b, tritt beim Lastfall Geradeausfahrt im mittleren Bereich der Welle auf.
Im Rahmen der Festigkeitslehre gilt es nun zu ermitteln, wie groß die maximale Spannung σmax
in der Welle ist, Bild 1-1c, und ob das verwendete Material diese Spannung auch aushält. Es
stellt sich also die Frage, ob Bruch oder Dauerbruch im Betrieb mit Sicherheit vermieden wird.

2

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre

Von Bedeutung ist auch die Durchbiegung der Welle und die daraus resultierende Spurweitenänderung, Bild 1-1d, da diese bestimmte Grenzwerte nicht überschreiten darf.

Bild 1-1 Bestimmung der Spannungen und Verformungen der Radsatzwelle eines Schienenfahrzeugs
a) Belastete Radsatzwelle
b) Schnittgröße M(x) = Mmax in der Radsatzwelle
c) Normalspannungsverteilung und maximale Normalspannung in der Radsatzwelle
d) Biegeverformung der Radsatzwelle

Bei Fragestellung 1-2 soll ein Wandkran, der eine Last F anhebt, Bild 1-2, mit den Methoden
der Festigkeitslehre untersucht werden. Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik wurden
bereits die Auflagerkräfte bei A und B ermittelt (siehe Beispiel 7-3 in [1]). Mit den Methoden
der Statik konnten auch die Stabkräfte S1 bis S11 bestimmt werden. In diesem Zusammenhang
ergeben sich nun weitere Fragen, die mit den Methoden der Festigkeitslehre gelöst werden
können:

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre
a)

3

Wie groß sind die Spannungen in den Stäben?

b) Welche Sicherheiten gegen plastische Verformung der Stäbe bestehen?
c)

Kann das Ausknicken der druckbelasteten Stäbe sicher verhindert werden?

Bild 1-2
Wandkran hebt eine Last F

Bei der Kompressorwelle, Fragestellung 1-3, siehe Bild 1-3, interessieren unter anderem die
auftretenden Normal- und Schubspannungen in den Wellenabschnitten sowie Ort und Größe
der maximalen Vergleichsspannung. Von großer Bedeutung sind auch die im Betrieb auftretenden Spannungsausschläge und die Sicherheiten gegen Gewalt- oder Ermüdungsbruch der
Welle. Bei der Beantwortung dieser Fragen kann auf den Erkenntnissen der Statik aufgebaut
werden. Die Ergebnisse für die Schnittgrößen N(x), Q(x) und M(x) sind in [1], Beispiel 5-5,
angegeben.

Bild 1-3 Welle eines Kompressors

Fragestellung 1-4 beschäftigt sich mit einem Druckbehälter, Bild 1-4, in dem im späteren Betrieb ein Innendruck von 20 bar herrschen soll. Für die Konstruktion des Behälters ist nun die
erforderliche Wandstärke gesucht, damit eine zweifache Sicherheit gegen das Bersten des
Behälters vorliegt.

4

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre

Bild 1-4
Druckbehälter

Fragestellung 1-5 betrachtet den Bewegungsapparat des Menschen. Bei älteren Menschen,
aber auch bei Sportunfällen, kann es im Bereich des Oberschenkelhalses zu Brüchen kommen.
Es ist daher von Bedeutung zu erfahren, welche maximalen Normalspannungen im Bereich des
Oberschenkelhalses auftreten, wenn z. B. infolge einer extremen Sprungbelastung eine Kraft
von F = 1500 N auf den Oberschenkel einwirkt, Bild 1-5.

Bild 1-5
Oberschenkelknochen (Femur) eines Menschen

Eine Tragstruktur, Fragestellung 1-6, ist an einem Ende an einer Wand befestigt und am anderen Ende durch eine Kraft F belastet, Bild 1-6.
Folgende Fragen können mit den Methoden der Festigkeitslehre gelöst werden:
a)

Wie groß sind die maximalen Normal-, Schub- und Vergleichsspannungen in der
Tragstruktur?

b) Aus welchem Material muss die Struktur bestehen, damit die auftretenden Spannungen sicher ertragen werden können?
c)

Wie groß ist die gespeicherte elastische Energie der belasteten Struktur?

d) Welche Verschiebung erfährt der Lastangriffspunkt infolge der Verformung der
Struktur?

1 Fragestellungen der Festigkeitslehre

5

Bild 1-6
Tragstruktur

Diese und viele andere Fragestellungen lassen sich mit den Methoden der Festigkeitslehre
lösen. Dieses Eingangskapitel soll das Interesse wecken, sich mit dem weiteren Inhalt des
Buches auseinander zu setzen und auch notwendige Details in einem Gesamtzusammenhang
zu sehen. Die Vermittlung der Grundlagen der Festigkeitslehre wird stets begleitet durch anwendungsnahe, aber auch abstrakte Beispiele. Ausgewählte Klausuraufgaben sollen eine selbständige Überprüfung des bereits gelernten Stoffes ermöglichen und Sicherheit beim Umgang
mit ingenieurtechnischen Fragestellungen liefern.
Die Festigkeitslehre baut, wie die hier beschriebenen Fragestellungen verdeutlichen, unmittelbar auf den Erkenntnissen der Statik auf. Die Inhalte dieses Buches setzen daher die Kenntnis
der Grundlagen der Statik voraus. Sollten diese nicht vorhanden oder bereits in Vergessenheit
geraten sein, so sind diese unbedingt nachzuholen bzw. aufzufrischen. Hierbei kann z. B. das
im Literaturverzeichnis unter [1] genannte Lehrbuch „Technische Mechanik – Statik“ behilflich sein. Zudem wird in diesem zweiten Band der Lehrbuchreihe an mehreren Stellen auf den
ersten Teil Bezug genommen. Die Methoden der Statik kommen somit auch in diesem Band
zum Einsatz.
In der klassischen Festigkeitslehre werden die Verformungen als klein gegenüber den Bauteilabmessungen betrachtet. Dies stellt eine nachträgliche Rechtfertigung für die in der Statik
verwendete Idealisierung der Bauteile als „starrer Körper“ dar. Das bedeutet, die Schnittgrößen
und die Spannungen werden bei statisch bestimmten Problemen am starren Körper betrachtet
(Theorie erster Ordnung). Lediglich für die Ermittlung der Verformungen bei statisch bestimmten Problemen und für die Behandlung von statisch unbestimmten Problemen muss die
Idealisierung „starrer Körper“ aufgegeben werden.

6

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung
Ziel einer Festigkeitsbetrachtung ist es, die strukturmechanische Funktionsfähigkeit einer Maschine oder eines Tragwerks dauerhaft zu sichern. D. h. es sollen im Betrieb weder Gewaltbrüche noch Dauerbrüche auftreten. Weiterhin gilt es, plastische Verformungen und Instabilitäten,
wie z. B. das Ausknicken von druckbelasteten Komponenten, zu vermeiden. Eine wichtige
Basis um derartiges Versagen zu verhindern, stellen verschiedene Nachweisverfahren, wie der
Festigkeitsnachweis, der Verformungsnachweis, der Stabilitätsnachweis und der Standsicherheitsnachweis, dar. Das prinzipielle Vorgehen soll im Folgenden anhand eines Festigkeitsnachweises dargestellt werden.

2.1 Vorgehensweise beim Festigkeitsnachweis
Im Rahmen eines Festigkeitsnachweises werden aus den gegebenen Belastungen von Bauteilen
und Strukturen zunächst die Schnittgrößen und daraus, mit den vorliegenden Querschnittsabmessungen der untersuchten Bauteile, eine maximal wirksame Spannung ermittelt. Diese wird
dann mit der zulässigen Spannung verglichen, die sich prinzipiell aus dem entsprechenden
Werkstoffkennwert und dem gewählten Sicherheitsfaktor ergibt, Bild 2-1.

Bild 2-1 Grundlegende Vorgehensweise bei einem Festigkeitsnachweis

Der Festigkeitsnachweis ist erbracht, wenn die wirksame Spannung kleiner ist als die zulässige
Spannung. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
„Die Beanspruchung eines Bauteils muss für alle Belastungssituationen kleiner sein
als die Tragfähigkeit.“
Sind die Belastungen und die Geometrie des Bau- oder Maschinenteils bekannt und ist der
Werkstoff festgelegt, so ergibt sich mit dem Festigkeitsnachweis der Sicherheitsfaktor gegen
Versagen. Werkstoffgrenzwerte sind hierbei z. B. die Streckgrenze oder die Zugfestigkeit des
Materials.

2.2 Äußere Belastung von Bau- und Maschinenteilen

7

Mit einer Festigkeitsbetrachtung kann aber auch die zulässige Belastung bestimmt werden,
wenn die Geometrie und der Werkstoff des Bauteils bekannt sind und der Sicherheitsfaktor
z. B. durch Regelwerke vorgegeben ist.
Bei der Produktentwicklung muss der Ingenieur aus der gegebenen Belastung, dem gewählten
Werkstoff und dem Sicherheitsfaktor die erforderlichen Abmessungen der Maschinenstruktur
ermitteln.
Letztlich kann es auch die Aufgabe des Konstrukteurs sein, den geeigneten Werkstoff für die
Konstruktion auszuwählen, der die Festigkeitsbedingungen und / oder die ökonomischen Restriktionen am besten erfüllt.
Je nach Fragestellung liefert eine Festigkeitsbetrachtung demnach
•

eine zulässige Belastung,

•

erforderliche Bauteilabmessungen,

•

einen geeigneten Werkstoff oder

•

die vorhandene Sicherheit gegen Versagen,

siehe Bild 2-2.

Bild 2-2 Ergebnisse einer Festigkeitsbetrachtung

Diese Festigkeitsnachweise werden im Allgemeinen an idealisierten Grundstrukturen wie
Seilen, Stäben, Balken, Bogenträgern, Rahmen oder Scheiben (siehe Einzelkomponenten ebener Tragwerke, Kapitel 5.1 in [1]) durchgeführt. Dies bedeutet, dass jede Einzelkomponente
und die Verbindungselemente einer komplexen Tragstruktur oder einer Maschine die Festigkeitsbedingung, siehe Bild 2-1, erfüllen müssen, damit die Funktionsfähigkeit der Gesamtstruktur dauerhaft gesichert werden kann.

2.2 Äußere Belastung von Bau- und Maschinenteilen
Bei vielen Vorgängen in Natur und Technik treten Kräfte und Momente auf. Will man eine
Maschine oder eine Tragstruktur sicher dimensionieren, so muss man die wirkenden Belastungen kennen. Diese können einzelne äußere Kräfte und Momente, aber auch Volumenkräfte
sein (siehe z. B. Kapitel 2.1 in [1]: Äußere Kräfte und Momente). Die Lasten können je nach
ihrer Bedeutung, ihrer Wirkung und ihres zeitlichen Verlaufs unterteilt werden in
•

Lasten auf Gesamtstrukturen und Maschinen (Gesamtbelastungen),

•

elementare Belastungen auf Einzelkomponenten (Belastungsarten),

8

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung
•

unterschiedlich zeitlich veränderliche Belastungen (Belastungsfälle).

Gesamtbelastungen, Belastungsarten und Belastungsfälle werden im Folgenden erläutert.

2.2.1 Gesamtbelastungen
Die auf Gesamtstrukturen einwirkenden Lasten werden eingeteilt in:
•

Hauptlasten,

•

Zusatzlasten,

•

Sonderlasten.

Hauptlasten wirken im Allgemeinen permanent. Hierzu zählen die Eigenlasten (Gewichte), die
Nutzlasten bzw. Betriebslasten, die Massenkräfte und die dynamischen Belastungen bzw.
Stoßkräfte.
Zusatzlasten treten im Allgemeinen nicht permanent auf. Hierzu zählen z. B. die Windlasten,
die Schneelasten oder Kräfte infolge von Wärmeentwicklung.
Sonderlasten sind z. B. Prüflasten (vor Inbetriebnahme einer Anlage) oder auch Kräfte, die
beim Transport oder bei der Montage auftreten. Die Transport- und Montagelasten können
völlig andere Wirkungen auf Maschinen und Strukturen haben als die Haupt- oder Zusatzlasten.

2.2.2 Belastungsarten
Als elementare Belastungs- und Verformungsarten bezeichnet man z. B. die Belastungen von
Einzelkomponenten (idealisierte Grundstrukturen) wie Stäben, Balken, usw., Bild 2-3. Diese
Belastungsarten sind z. B. Zug, Druck, Biegung, Schub und Torsion. Die elementaren Belastungsarten lassen sich wie folgt charakterisieren:
Zug:

Zugkräfte wirken in Richtung der Stabachse. Zwei Nachbarquerschnitte entfernen sich voneinander. Der Stab wird verlängert. Zugbelastungen treten z. B. auf
bei Spindeln, Fachwerkstäben, Seilen, usw.

Druck:

Druckkräfte wirken in Richtung der Stabachse. Zwei Nachbarquerschnitte nähern sich an. Der Stab wird verkürzt. Druckbelastungen treten z. B. auf bei Stützen, Pfeilern, Fachwerkstäben, usw. Bei langen schlanken Druckstäben muss die
Gefahr des Ausknickens gesondert betrachtet werden.

Biegung: Durch Momente bzw. durch Kräfte quer zur Balkenachse wird der Balken gebogen, d. h. die Balkenachse wird gekrümmt. Dabei werden zwei Nachbarquerschnitte gegeneinander verdreht, d. h. ein Teil des Balkens wird verlängert, ein
Teil verkürzt. Man unterscheidet reine Biegung, bei der das Biegemoment über
die Balkenlänge konstant ist, und Querkraftbiegung, bei der im interessierenden
Bereich neben dem Biegemoment noch eine Querkraft auftritt. Biegebelastungen
treten z. B. auf bei Balken, Trägern, Wellen, Achsen, Rahmen, Bogenträgern,
usw.
Schub:

Kräfte wirken quer zur Balkenachse. Zwei Nachbarquerschnitte werden gegeneinander verschoben. Es tritt eine Abscherbewegung auf. Schubbelastungen treten z. B. auf beim Abscheren von Blechen oder bei Niet- oder Schraubenverbindungen sowie bei querkraftbelasteten Balken.

2.2 Äußere Belastung von Bau- und Maschinenteilen

9

Torsion: Durch Torsionsmomente wird der Stab oder der Balken verdreht, wobei die
Stabachse gerade bleibt. Zwei Nachbarquerschnitte vollziehen eine gegeneinander gerichtete Drehbewegung. Torsionsbelastungen liegen unter anderem bei
Achsen, Wellen, Rohren, räumlichen Tragstrukturen, usw. vor.
Belastungsart

Einzelkomponente, Belastungssituation

Verformung

Zug

Verlängerung

Druck

Verkürzung

Biegung

Durchbiegung

Schub

Abscherung

Torsion

Verdrehung

Bild 2-3 Elementare Belastungs- und Verformungsarten

In der Praxis treten diese elementaren Belastungs- und Verformungsarten häufig auch gleichzeitig auf. Bei linearem Belastungs- und Verformungsverhalten können dann die Einzelwirkungen überlagert werden.
Grundsätzlich gilt:
•

Kräfte wirken als Normal- und / oder Querkräfte.

•

Momente wirken als Biege- und / oder Torsionsmomente.

In den Querschnitten senkrecht zur Stab- oder Balkenachse führen
•

Normalkräfte und Biegemomente zu Normalspannungen und

•

Querkräfte und Torsionsmomente zu Schubspannungen.

2.2.3 Belastungsfälle
Belastungsfälle, auch Lastfälle genannt, beschreiben den zeitlichen Verlauf einer Belastung,
siehe Bild 2-4. Neben der ruhenden oder konstanten Belastung existieren auch die zeitlich

10

2 Grundprinzipien einer Festigkeitsbetrachtung

periodischen Belastungen, wie Schwellbelastung, Wechselbelastung und allgemein periodische Belastung. Dabei entspricht die konstante Belastung Fall I nach BACH, die Schwellbelastung Fall II und die Wechselbelastung Fall III nach BACH. Da die zeitliche Veränderung nicht
stoßartig, sondern eher kontinuierlich erfolgt, spricht man auch von quasistatischer Belastung.
Belastungsfall

ruhende, statische
Belastung

zeitlicher Verlauf der Belastung

konstante Belastung
Fall I nach BACH

Schwellbelastung
Fall II nach BACH

zeitlich veränderliche,
periodische Belastung

Wechselbelastung
Fall III nach BACH

allgemeine periodische
Belastung

zeitlich veränderliche,
nichtperiodische
Belastung

nichtperiodisch ablaufende
Belastung

dynamische, stoßartige
Belastung

dynamische Belastung mit
Wellenausbreitungsvorgängen

Bild 2-4 Grundlegende Belastungsfälle

Nichtperiodisch ablaufende Vorgänge, wie sie z. B. bei Verkehrsfahrzeugen vorkommen,
können entweder als stochastische oder deterministische Belastungen auftreten. Sie können
quasistatisch verlaufen, aber bei schnell verlaufenden Vorgängen auch mit erheblichen Trägheitswirkungen verbunden sein.

2.5 Zulässige Spannungen

11

Bei einer stoßartigen Belastung wird in sehr kurzer Zeit eine hohe Kraft oder ein hohes Moment übertragen. Hierbei sind die Trägheitswirkungen erheblich und es kommt zu Wellenausbreitungsvorgängen in der Struktur.

2.3 Wirksame Spannungen
Die über den Bauteilquerschnitt verteilten inneren Kräfte, die Spannungen, hängen im Wesentlichen von der Art und Höhe der äußeren Belastung und von den Bauteilabmessungen ab.
Dabei sind insbesondere die Form und die Abmessungen der interessierenden Querschnitte
von Bedeutung. Während bei Zugbelastung die Querschnittsfläche entscheidend ist, siehe
Kapitel 3.1 und 4.1.1, spielt bei Biegebelastung das Flächenträgheitsmoment oder das Widerstandsmoment der Querschnittsfläche eine entscheidende Rolle, siehe Kapitel 5.2.3. Bei Torsionsbelastung hat das Flächenträgheitsmoment und das Widerstandsmoment gegen Torsion
eine wesentliche Bedeutung, Kapitel 7.1.1 und 7.2.1.
Man erkennt also, dass es für die Spannungsverteilungen keine allgemeingültigen Lösungen
gibt. Vielmehr muss für jede Belastungsart eine spezifischen Lösung gefunden werden.

2.4 Werkstoffkennwerte
Im Rahmen eines Festigkeitsnachweises hat auch der verwendete Werkstoff eine große Bedeutung. Das Werkstoffverhalten ist dabei von Werkstoff zu Werkstoff grundsätzlich verschieden.
Zudem ist der zu verwendende Werkstoffkennwert auch noch von der Belastungsart und dem
Belastungsfall abhängig. Man erkennt, dass auch hier die jeweils vorliegende Belastungs- und
Werkstoffsituation die Werkstoffauswahl beeinflusst. Welche Werkstoffkennwerte im Einzelnen zu verwenden sind, geht aus den nachfolgenden Kapiteln hervor. Kennwerte für häufig
verwendete Werkstoffe sind im Anhang A1 angegeben.

2.5 Zulässige Spannungen
Werkstoffkennwerte stellen oft Grenzwerte dar. So gibt z. B. die Zugfestigkeit die maximal
ertragbare Spannung in einem Zugstab an. Will man nun Gewaltbruch mit Sicherheit vermeiden, so darf der Werkstoff nicht bis zur Zugfestigkeit belastet werden. Abhängig von der
Versagensart und dem Gefährdungspotential werden daher Sicherheitsfaktoren gewählt, um
die der Werkstoffgrenzwert vermindert wird. Man erhält dann die zulässigen Spannungen.
Bekanntlich müssen beim Festigkeitsnachweis, siehe Bild 2-1, die wirksamen Spannungen
kleiner sein als die zulässigen Spannungen, die Sicherheitszahlen müssen also größer eins sein.
Die Sicherheitsfaktoren werden im Allgemeinen in technischen Vorschriften fest vorgegeben.
Eine Auswahl von Sicherheitsfaktoren findet sich in Anhang A2.

12

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze
Bei Bauteilen, Maschinen und Strukturen treten infolge äußerer Belastung, Kapitel 2.2, innere
Spannungen und Verzerrungen auf. Diese gilt es mit den Methoden der Festigkeitslehre zu
ermitteln und mit entsprechenden Grenzwerten zu vergleichen, siehe z. B. Kapitel 2.1.
In der Statik wurden die Resultierenden der inneren Kräfte, die so genannten Schnittgrößen,
bestimmt, siehe Kapitel 5.6 in [1]. Beim Zugstab ist dies die Normalkraft N (Kapitel 5.6.4 in
[1]). Bei Balken und Rahmen können bei ebener Belastung die Normalkraft N, die Querkraft Q
und das Biegemoment M als Schnittgrößen ermittelt werden, Kapitel 5.6.5 in [1]. Bei räumlicher Belastung kommen i. Allg. noch eine Querkraft, ein Biegemoment und ein Torsionsmoment hinzu (vgl. Kapitel 8.3.4 in [1]).
Im Rahmen der Festigkeitslehre gilt es nun, aus diesen Schnittgrößen die verteilten inneren
Kräfte, die Spannungen, zu ermitteln. Äußere Kräfte und Momente rufen aber neben den inneren Spannungen auch Verformungen oder Verzerrungen des Bauteils bzw. der Struktur hervor.
Die Verformungen sind dabei abhängig von der Elastizität bzw. der Nachgiebigkeit des Materials. Der Zusammenhang zwischen Kräften und Verformungen bzw. zwischen Spannungen
und Verzerrungen wird durch das so genannte Werkstoffgesetz oder Stoffgesetz beschrieben.
Spannungen, Verzerrungen und Stoffgesetze werden nun eingehender untersucht.

3.1 Spannung als verteilte innere Kraft
Spannungen sind verteilte innere Kräfte, die in der klassischen Festigkeitslehre unmittelbar aus
den Schnittgrößen ermittelt werden. Beim Zugstab, der durch die Kraft F belastet ist, erhält
man im interessierenden Stabquerschnitt als Schnittgröße die Normalkraft N = N(x), Bild
3-1a, b. Die Normalkraft lässt sich mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik ermitteln,
siehe z. B. Kapitel 5.6.4 in [1].
Man erhält mit ΣFix = 0
N ( x) = F

(3.1)

als über die Stablänge konstante Normalkraft.
Mit der Querschnittsfläche A lässt sich die Spannung σ ermitteln:

σ=

N ( x) F
=
A
A

(3.2).

Die Spannung ergibt sich somit als Kraft durch Fläche. Sie stellt die Intensität der inneren
Kraft pro Flächeneinheit dar. Als Einheit für die Spannung kann z. B. N/m², N/mm² oder MPa
gewählt werden. Für die gegebene Stabbelastung und für den Fall, dass die Querschnittsfläche
über die gesamte Stablänge konstant ist, ist die Spannung gleichmäßig über den Stabquerschnitt, Bild 3-1c, und die Stablänge verteilt.

3.2 Allgemeine Spannungsdefinition

13

Bild 3-1 Ermittlung der Normalspannung beim Zugstab
a) Belasteter Zugstab mit den Kräften F und dem Stabquerschnitt A
b) Ermittlung der Normalkraft im Stab
c) Normalspannung σ ist konstant über den Stabquerschnitt und die Stablänge
d) Mögliche Querschnittsprofile des Stabs

Wirkt, wie in Bild 3-1 dargestellt, auf den Stab eine Zugkraft, so entstehen im Stabquerschnitt
Zugspannungen und bei elastischen Stäben kommt es zu einer Stabverlängerung. Eine Druckkraft ruft dagegen eine Druckspannung und eine Stabverkürzung hervor.
Die errechnete Spannung σ ist eine Normalspannung, denn sie wirkt, wie in Bild 3-1c dargestellt, senkrecht oder normal zur Querschnittsfläche. Nach Gleichung (3.2) hängt die Spannung
lediglich von der Größe der wirkenden Kraft und von der Größe der Querschnittsfläche ab. Die
Form der Querschnittsfläche ist dagegen nicht von Bedeutung. Bild 3-1d zeigt Querschnittsprofile mit gleichem Flächeninhalt. Bei gleich großer äußerer Kraft ist die Spannung σ für
diese Profile gleich groß.
Grundsätzlich gilt:
„Äußere Kräfte rufen in festen Körpern verteilte innere Kräfte, die Spannungen
hervor. Diese sind, wie die Schnittgrößen, für sich im Gleichgewicht und können
mit dem Schnittprinzip der Mechanik sichtbar gemacht werden.“

3.2 Allgemeine Spannungsdefinition
Bei allgemeiner Belastung eines Bauteils sind die Spannungen beliebig über den Querschnitt
verteilt. Der in Kapitel 3.1 betrachtete Zugstab mit der konstanten Normalspannung σ stellt
insofern einen Sonderfall dar. Bereits die Biegebelastung eines Balkens führt zu ungleichmäßiger Spannungsverteilung, Bild 3-2a. Auch Störungen im Spannungsverlauf, z. B. durch Kerben, gekrümmte Randkonturen oder Löcher im betrachteten Bauteil, führen zu lokalen Spannungserhöhungen und somit zu ungleichmäßigen Spannungsverteilungen, siehe Bild 3-2b, c.

14

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Bild 3-2 Beispiele für ungleichmäßige Spannungsverläufe in Bauteilen und Strukturen
a) Linear über den Querschnitt verlaufende Normalspannung infolge der Biegebelastung eines
Balkens
b) Spannungserhöhung an Kerben
c) Randspannungsverlauf bei einem Zahnrad
d) Schubspannungsverteilung infolge einer Querkraft beim Balken

Neben den Normalspannungen treten auch Schubspannungen in entsprechend belasteten
und/oder beliebig geformten Bauteilen auf. Die Schub- oder Tangentialspannungen wirken
dabei tangential zur Querschnittsfläche. Beim Balken werden die Schubspannungen z. B.
durch Querkräfte erzeugt, Bild 3-2d.
G
σ aus, der sich für ein
Eine allgemeine Spannungsdefinition geht von einem Spannungsvektor
G
Flächenelement ǻA aus der dort wirkenden inneren Kraft ǻF berechnen lässt:
G
G
G
ǻF dF
σ = lim
=
(3.3).
dA
ǻA →0 ǻA
G
Der Spannungsvektor σ ist dabei von der Größe und der Richtung der Kraft und der Größe
und der Orientierung des Flächenelements abhängig.

G
Bild 3-3 Zur Definition von Spannungsvektor σ , Normalspannung
σ und Schubspannung τ
G
a) Beliebig belasteterGKörper mit Kraftvektor ǻF , der an dem Flächenelement ǻA angreift
b) Zerlegung von ǻF in eine Komponente ǻN normal zur Schnittfläche und eine Komponente ǻT tangential zur Schnittfläche am vergrößert dargestellten Flächenelement ǻA

3.3 Normal- und Schubspannungen beim Zugstab

15

G
Zerlegt man die innere Kraft ǻF in eine Komponente ǻN normal zu ǻA und eine KompoG
nente ǻT tangential zu ǻA , so erhält man als Komponenten des Spannungsvektors σ die
Normalspannung

ǻN dN
=
dA
ǻA →0 ǻA

σ = lim

(3.4)

und die Tangential- oder Schubspannung
ǻT dT
=
dA
ǻA →0 ǻA

τ = lim

(3.5).

Die Normal- und die Schubspannung können bei allgemeiner Belastung und bestimmter Bauteilgeometrie beliebig über den Querschnitt verteilt sein.
Nur in Sonderfällen, d. h. bei gleichmäßiger Kraftübertragung, gelten die einfachen Beziehungen

σ=

N
A

(3.6)

τ=

Q
A

(3.7),

und

wobei N die Normalkraft und Q die Querkraft bedeuten.

3.3 Normal- und Schubspannungen beim Zugstab
Für den in Bild 3-4a dargestellten Zugstab sollen die Spannungen in verschiedenen Schnittebenen ermittelt werden. Im Schnitt A – A wirkt die konstante Normalspannung σ , die sich
aus der Kraft F und der Schnittfläche A errechnen lässt (siehe auch Kapitel 3.1):

σ=

F
A

(3.8),

Bild 3-4b. Im Schnitt A – A tritt keine Schubspannung auf.
Im Schnitt B – B tritt weder eine Normalkraft N noch eine Querkraft Q auf. Dementsprechend
existiert auch keine Normalspannung σ und keine Schubspannung τ :

σ =0

τ = 0.

Besonders interessant ist der Schnitt C – C, bei dem die Schnittebene um einen beliebigen
Winkel α geneigt ist. In diesem Schnitt lässt sich die Kraft F in eine Komponente FN normal
und eine Komponente FT tangential zur Schnittfläche zerlegen. Dabei ist
FN = F ⋅ cos α

(3.9)

FT = F ⋅ sin α

(3.10).

und

16

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Bild 3-4 Normal- und Schubspannungen in verschiedenen Schnitten eines Zugstabs
a) Zugstab mit den Schnitten A – A, B – B und C – C
b) Konstante Normalspannung σ im Schnitt A – A
c) Zerlegung der Kraft F in die Komponenten FN normal und FT tangential zur Schnittfläche
C–C
d) Normalspannung σα und Schubspannung τα im Schnitt C – C

Der Flächeninhalt A* der Schnittfläche lässt sich aus der Querschnittfläche A und dem Winkel
α bestimmen:
A* =

A
cos α

(3.11).

Mit den Gleichungen (3.9), (3.10) und (3.11) erhält man dann die Normalspannung σα und die
Schubspannung τα im Schnitt C – C:

σĮ =

FN

τĮ =

FT

*

A

A

*

=

=

F ⋅ cos α ⋅ cos α
σ
= σ ⋅ cos ²α = ⋅ (1 + cos 2α )
A
2
F ⋅ sin a ⋅ cos a
σ
= σ ⋅ sin α ⋅ cos α = ⋅ sin 2α
A
2

(3.12),

(3.13).

Die Normalspannung σα ist maximal für α = 0°. In diesem Fall ist

σ max = σ 0° = σ =

F
A

(3.14)

(siehe auch Gleichung (3.8)) und τα = 0.
Die Schubspannung τα erreicht bei α = 45° ihren Maximalwert. In diesem Fall gilt

τ max = τ 45° =

σ
2

(3.15)

3.4 Verschiebungen und Verzerrungen

17

und

σ Į = σ 45° =

σ
2

(3.16).

Versagt ein Stab durch Gewaltbruch, so tritt Trennbruch ein, wenn σmax für den Bruch verantwortlich ist. In diesem Fall wird der Stab senkrecht zur Stabachse durchtrennt. Gleitbruch tritt
dagegen auf, wenn die maximale Schubspannung für den Bruch verantwortlich ist. In diesem
Fall gleitet das Material unter α = 45°, d. h. in den Ebenen der maximalen Schubspannung, bis
zum Bruch.

Bild 3-5 Trenn- und Gleitbruch beim Zugstab
a) Bei sprödem Material führt die maximale Normalspannung zum Trennbruch
b) Bei zähem Material bewirkt die maximale Schubspannung einen Gleitbruch

Ob bei einem Zugstab im Grenzfall ein Trennbruch oder ein Gleitbruch entsteht, hängt davon
ab, ob es sich um ein sprödes oder ein zähes Material handelt.

3.4 Verschiebungen und Verzerrungen
Alle festen Körper ändern unter der Einwirkung von Kräften und Momenten ihre Größe und
ihre Gestalt. D. h. bei Belastung treten in allen Bauteilen und Strukturen Verformungen auf.
Die Art der Verformung hängt von den globalen Belastungen und den daraus resultierenden
lokalen Spannungen ab.
Grundsätzlich gilt:
„Normalspannungen erzeugen Längenänderungen,
Schubspannungen bewirken Winkeländerungen.“
Bei der Betrachtung der Verformungen geht man idealerweise davon aus, dass es sich bei dem
Material um ein stetiges Medium, ein Kontinuum, handelt, bei dem die Verformungen ebenfalls stetig sind. Die Untersuchung der Verformungen ist dabei ein rein geometrisches Problem. Man vergleicht die Situation nach der Verformung mit dem Zustand vor der Verformung.

3.4.1 Verformungen bei einachsigem Zug
Die Verformungsgrößen eines Zugstabs können durch den Vergleich des belasteten und verformten Stabs mit der unbelasteten und unverformten Situation ermittelt werden, Bild 3-6. Bei
Belastung durch die Kraft F verlängert sich der Stab. Dabei erfahren alle Stabquerschnitte eine
Verschiebung u(x). Der Kraftangriffspunkt verschiebt sich dabei um u(x = l) = Δl, was der
Gesamtverlängerung des Stabs um Δl entspricht.

18

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Bild 3-6 Verformungen beim Zugstab
a) Unbelasteter und unverformter Stab mit den Messpunkten A und B im Abstand dx
b) Belasteter und verformter Stab mit den verschobenen Messpunkten A’ und B’ im Abstand
dx + du und der Gesamtverlängerung Δl des Stabes

Bringt man am unverformten Stab, Bild 3-6a, zwischen den Punkten A und B einen Messaufnehmer mit der Messlänge dx an, so kann man mit diesem Messgerät am belasteten und verformten Stab eine Länge dx + du messen. Um ein Verformungsmaß zu erhalten, muss man den
Abstand der Punkte A’ und B’ mit dem Abstand der Punkte A und B, d. h. die Messlänge
dx +du mit der Ausgangsmessstrecke dx, vergleichen. Dazu führt man als Verformungsmaß
die Dehnung als bezogene Längenänderung ein, die sich allgemein wie folgt darstellen lässt:
Dehnung =

Länge nach der Verformung - Länge vor der Verformung
.
Länge vor der Verformung

Für das betrachtete Stabelement (mit der Ausgangslänge dx) ergibt sich somit:

ε x ( x) =

A' B' - AB
AB

=

dx + du − dx
dx

und daraus die allgemeingültige Definition für die Dehnung:

ε = ε ( x) =

du
dx

(3.17).

Die Dehnung ε ist eine dimensionslose Größe, die meist in % oder in ‰ angegeben wird.
Gleichung (3.17) zeigt, dass es sich bei der Dehnung um die Ableitung der Verschiebungsfunktion u(x) nach der Stabkoordinate x handelt.
Die Gesamtverlängerung Δl eines in Stabrichtung belasteten Stabs ergibt sich durch Integration
von Gleichung (3.17) nach Trennung der Variablen:
Δl

³ du =

u =0

l

³ ε ( x) dx

x =0

mit der Beziehung

3.4 Verschiebungen und Verzerrungen

19

l

Δl = ³ ε ( x) dx

(3.18).

0

Für den Fall einer konstanten Dehnung über die Stablänge gilt für Stabverlängerung
Δl = ε ⋅ l

(3.19)

bzw. die Dehnung

ε=

Δl
l

(3.20).

Die Gleichungen (3.19) und (3.20) gelten für den mit einer Zugkraft belasteten Zugstab, Bild
3-6 und z. B. für die Längenänderung von Fachwerkstäben, bei denen die Dehnung über die
Stablänge ebenfalls konstant ist. Fälle mit nichtkonstanter Dehnung werden z. B. in den Kapiteln 4.1.2 und 4.1.3 behandelt.
Ist ein Stab durch eine Druckkraft belastet, so verkürzt er sich. Negative Dehnungen werden
häufig auch als Stauchungen bezeichnet.

3.4.2 Verformungen durch Schubbelastungen
Eine quadratische Scheibe, Bild 3-7a, die durch zwei entgegengesetzt gerichtete, gleich große
Kräftepaare (siehe Kapitel 3.3 in [1]) belastet ist, erfährt eine Schubbeanspruchung. Durch die
entgegengesetzt wirkenden Kräfte am oberen und am unteren Rand der Scheibe liegt Gleichgewicht in horizontaler Richtung (x-Richtung) vor. Die entgegengesetzt wirkenden Kräfte am
linken und am rechten Rand der Scheibe liefern Gleichgewicht in vertikaler Richtung (yRichtung). Alle Kräfte zusammen erfüllen das Momentengleichgewicht (siehe Kapitel 4.1 in
[1]).
Infolge der Belastung ändert die Scheibe ihre Gestalt. Die Scheibe erfährt eine Winkeländerung um den Winkel γ, Bild 3-7b. Im Inneren der Scheibe entsteht ein reiner Schubspannungszustand. Dies wird an dem Scheibenelement in Bild 3-7c deutlich. Die Schubspannungen, die
im Allgemeinen mit τ bezeichnet werden, treten immer paarweise auf, siehe auch Bild 3-7e.
Aus Gleichgewichtsbetrachtungen für das Scheibenelement erhält man den Satz von den zugeordneten Schubspannungen:
„Schubspannungen auf senkrechten Ebenen sind stets gleich groß und paarweise zu einer Kante hin oder von einer Kante weggerichtet.“
Infolge der Belastung erfährt die Scheibe und somit auch das Scheibenelement eine Winkeländerung um den Winkel γ, Bild 3-7b und Bild 3-7d. Es wird somit deutlich, dass Schubspannungen, Bild 3-7c, Winkeländerungen, Bild 3-7d, hervorrufen.
Als Maß für die Winkeländerung gilt

γ ≈ tan γ =

DD'
CD

(3.21).

Diese Beziehung gilt für kleine Winkel. γ wird Schubverformung oder auch Schiebung genannt.

20

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Bild 3-7 Verformungen durch Schubbelastung
a) Zwei entgegengesetzt wirkende Kräftepaare bewirken eine Schubbelastung der Scheibe
b) Winkeländerung der Scheibe infolge einer Schubbelastung
c) Schubspannungen an einem Scheibenelement
d) Winkeländerung am Scheibenelement infolge der Schubspannungen
e) Zugeordnete Schubspannungen an einem Volumenelement

3.4.3 Allgemeine Formänderungen: Verzerrungen
Bei allgemeiner Belastung eines Bauteils treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungen auf, Bild 3-8a. Diese führen gleichzeitig zu Längen- und Winkeländerungen und
somit zu Dehnungen und Schubverformungen, Bild 3-8b. Zusammengenommen werden Dehnungen und die Schubverformungen (Schiebungen) als Verzerrungen bezeichnet, Bild 3-8c.

Bild 3-8 Allgemeine Verformungen
a) Am Scheibenelement wirken Normal- und Schubspannungen
b) Infolge der Belastung verzerrtes Scheibenelement (Überlagerung von Dehnung und Schubverformung)
c) Einteilung der Verzerrungen

Auch bei allgemeiner Belastung bzw. allgemeiner Formänderung bewirken die Normalspannungen die Dehnungen und die Schubspannungen die Schubverformungen.

3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

21

3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen:
Stoffgesetze
Die bisher verwendeten Definitionen für Spannungen und Verzerrungen gelten unabhängig
vom Materialverhalten. Bei einem Zugstab ist die Spannung lediglich abhängig von der wirkenden Last F und der Querschnittsfläche A, siehe Kapitel 3.2. Die Dehnung ε ergibt sich
durch rein geometrische Betrachtungen mit dem Quotienten aus der Stabverlängerung Δl und
der Ausgangslänge l des Stabes, siehe Kapitel 3.4.1.
Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen ist jedoch materialabhängig. Er
muss experimentell durch geeignete Versuche ermittelt werden. Die Relation zwischen der
Spannung σ und der Dehnung ε wird im einachsigen Fall im Rahmen der Werkstoffprüfung
durch einen Zugversuch ermittelt.

3.5.1 Zugversuch
Beim Zugversuch nach DIN-EN 10002-1 wird ein genormter Probestab, siehe Bild 3-9a, in
einer Prüfmaschine durch kontinuierliche Erhöhung der Zugkraft bis zum Bruch belastet, Bild
3-9b. Während dieses Versuches wird permanent die Kraft F sowie die Stabverlängerung Δl
gemessen und in einem Kraft-Verlängerungs-Messschrieb dargestellt, Bild 3-9c.

Bild 3-9 Durchführung eines Zugversuches
a) Unbelastete Zugprobe mit der Messlänge l0 und dem Querschnitt A0
b) Beim Zugversuch wird die Probe durch kontinuierliche Erhöhung der Kraft F bis zum
Bruch belastet und dabei die Längenänderung Δl gemessen
c) Kraft-Verlängerungs-Diagramm für einen zähen Stahl

Aus diesen Messdaten erhält man mit σ = F/A0, siehe Kapitel 3.2, und ε = Δl/l0, siehe Kapitel
3.4.1, ein σ - ε -Diagramm als so genannte Spannungs-Dehnungs-Kurve, Bild 3-10.

22

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Bild 3-10 Charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurve für einen Stahl S235JR
P1: Proportionalitätsgrenze, P2: Elastizitätsgrenze, P3: Streckgrenze oder Fließgrenze,
P4: Bruchgrenze, P5: Zerreißgrenze;
Rm: Zugfestigkeit, Re: Fließgrenze oder Streckgrenze

Im Verlauf der Kurve sind verschiedene Punkte P1 bis P5 gekennzeichnet, die wichtig für die
Beurteilung des Materialverhaltens sind.
Bis zur Proportionalitätsgrenze P1 existiert ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung
und Dehnung. Bei Belastung bis zur Elastizitätsgrenze liegt elastisches Materialverhalten vor.
Dies bedeutet, nach einer Belastung bis zum Punkt P2 verschwindet die Verformung nach
Entlastung wieder vollständig. Es ergeben sich keine bleibenden Dehnungen. Die Punkte P1
und P2 liegen i. Allg. dicht beieinander.
Beim Erreichen der Fließgrenze oder Streckgrenze P3 tritt verstärkt plastisches Materialverhalten ein. Die Dehnung nimmt deutlich zu, wobei es im Kraftschrieb zu gewissen Schwankungen
kommen kann (obere und untere Streckgrenze). Der Spannungswert, bei dem Fließen einsetzt,
bezeichnet man mit Re (Fließgrenze oder Streckgrenze). Bei Entlastung nach Überschreiten der
Streckgrenze ergeben sich bleibende Dehnungen und somit bleibende Verformungen. Nach
dem Fließbereich schließt sich ein Verfestigungsbereich an, bei dem sowohl die Spannung als
auch die Dehnung zunehmen.
Die Bruchgrenze P4 beschreibt den maximal erreichbaren Spannungswert. Diesen nennt man
Zugfestigkeit und bezeichnet ihn mit Rm. Nach Überschreiten der Bruchgrenze schnürt sich der
Stab an einer Stelle merklich ein. Die Kraft und die auf den Ausgangsquerschnitt A0 bezogene
Spannung fällt ab und es kommt zum Zerreißen des Stabs, P5. Die Bruchdehnung εB, vielfach
auch mit A bezeichnet1, ist dabei ein Maß für die Verformbarkeit des Materials.

1

Die Bruchdehnung wird häufig mit A bezeichnet. Um aber eine Verwechslung mit der Querschnittsfläche A zu vermeiden, wird hier für die Bruchdehnung die Bezeichnung εB verwendet.

3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

23

Die für die Festigkeitsbetrachtung wichtigen Kennwerte sind Rm und Re. Sie werden i. Allg. in
N/mm² oder MPa angegeben. Der Wert der Bruchdehnung εB in % zeigt, ob es sich um ein
zähes oder ein sprödes Material handelt.
Für den Werkstoff S235JR ergeben sich die Festigkeitskennwerte Rm = 360 N/mm² = 360 MPa
und Re = 235 N/mm² = 235 MPa. Die Bruchdehnung εB beträgt 26%, was auf sehr zähes Materialverhalten hinweist. Dagegen liegen bei dem Werkstoff EN-GJL-250 die Werte bei
Rm = 250 N/mm² und εB = 0,5%. Es handelt sich somit um ein sehr sprödes Material.

3.5.2 Spannungs-Dehnungs-Kurven für verschiedene Materialien
Bild 3-10 zeigt die charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurve für einen zähen Stahl. Hochfeste Stähle zeigen dagegen ein völlig anderes Verhalten, Bild 3-11a.

Bild 3-11 Charakteristische Spannungs-Dehnungs-Kurven für unterschiedliche Materialgruppen
Rm: Zugfestigkeit, Rp0,2: 0,2%-Dehngrenze (technische Streckgrenze)
a) hochfester Stahl b) Aluminium-Knetlegierung c) Eisenguss d) Kunststoff

Der Übergang vom elastischen in das plastische Materialverhalten ist bei diesen Stählen nicht
durch einen ausgeprägten Fließbereich gekennzeichnet. Zur Festlegung eines entsprechenden
Festigkeitswertes verwendet man die Spannung, bei der eine 0,2%-ige bleibende Dehnung
(plastische Verformung) vorliegt. Den Kennwert bezeichnet man dann mit Rp0,2.
Auch bei den anderen in Bild 3-11 dargestellten Materialgruppen liegt keine ausgeprägte
Streckgrenze vor. Auch hier gelten die Festigkeitskennwerte Rm und Rp0,2. Zudem fällt auf,

24

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

dass der Anstieg der Kurve im elastischen Bereich bei Aluminium und Kunststoff sehr viel
flacher ist als bei Stahl.
Festigkeitskennwerte und Bruchdehnungen für zahlreiche Materialien sind im Anhang A1 und
in [2] und [3] angegeben.

3.5.3 Elastisches und nichtelastisches Materialverhalten
Bei elastischem Materialverhalten treten keine Plastifizierungen und somit bei Entlastung
keine bleibenden Verformungen auf. Es handelt sich bei Be- und Entlastung um einen reversiblen Vorgang, bei dem Belastungs- und Entlastungskurve stets identisch sind, Bild 3-12.

Bild 3-12 Elastisches Materialverhalten
a) Linear-elastisch
b) Nichtlinear-elastisch

Im Gegensatz dazu kommt es beim nicht-elastischen Materialverhalten nach Überschreiten der
Elastizitätsgrenze zu ausgeprägten plastischen Verformungen. Tritt ab dem Fließbeginn keine
Spannungserhöhung mehr auf, spricht man von ideal-plastischem Materialverhalten, Bild
3-13a.

Bild 3-13 Nicht-elastisches Verhalten
a) Elastisch/ideal-plastisch
b) Elastisch/plastisch mit Verfestigung

Erhöht sich die Spannung bei zunehmender plastischer Verformung, bezeichnet man das Materialverhalten als plastisch mit Verfestigung, Bild 3-13b.
Charakteristisch für nicht-elastisches Materialverhalten ist, dass Belastungs- und Entlastungskurve nicht mehr zusammenfallen und bleibende Verformungen auftreten.

3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

25

3.5.4 HOOKEsches Gesetz bei Zug
Bei technischen Bauteilen soll Bruch und bleibende Verformung vermieden werden. Die Belastung wird dabei so gewählt, dass eine ausreichende Sicherheit gegen plastische Verformungen vorliegt. In diesem Bereich verhalten sich die meisten Materialien linear-elastisch, Bild
3-14.

Bild 3-14
Linear-elastischer Bereich der Spannungs-DehnungsKurve
Elastizitätsmodul E =ˆ tan α

Es existiert also ein eindeutiger und linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung, der durch das HOOKEsche Gesetz

σ = E ⋅ε

(3.22)

beschrieben werden kann.
Die Spannung σ ist also der Dehnung ε proportional. Proportionalitätsfaktor ist der Elastizitätsmodul E, der ein Maß für den Anstieg der Spannungs-Dehnungs-Kurve darstellt, Bild 3-14.
Der Elastizitätsmodul von Stahl ist für alle Stahlsorten weitgehend konstant und beträgt
210000 N/mm². Bei Aluminiumlegierungen ist E erheblich kleiner mit ≈ 70000 N/mm². Die
Werte für Kunststoffe sind sehr stark materialabhängig. Sie liegen im Mittel bei 1000 –
3000 N/mm². Detailliertere Angaben können dem Anhang A1 sowie [2] und [3] entnommen
werden.
Gleichung (3.22) ist gültig für einachsige Zug- oder Druckbelastung. Bei Schubbelastung und
bei mehrachsiger Belastung gelten andere Gesetzmäßigkeiten, siehe Kapitel 3.5.7 und 8.4.
Der lineare Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist mathematisch sehr viel einfacher zu behandeln als nichtlineares Materialverhalten. Dies kommt den weiteren Betrachtungen in diesem Buch zu Gute, in denen überwiegend lineares Material- und Bauteilverhalten
untersucht wird.

3.5.5 Querdehnung
Beim Zugversuch, Kapitel 3.5.1, werden neben der axialen Dehnung auch Querdehnungen
festgestellt. Wird ein Stab, Bild 3-15, in x-Richtung verlängert, zieht er sich in y- und in zRichtung zusammen.

Bild 3-15 Zugstab mit einachsiger Zugbelastung zur Verdeutlichung der Querdehnung

26

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Für die Dehnung εx in Längsrichtung ergibt sich dann mit dem HOOKEschen Gesetz, Gleichung (3.22),

εx =

1
⋅σ x
E

(3.23).

Für die Querdehnungen in y- und z-Richtung gilt

ε y = ε z = −ν ⋅ ε x = −

ν
E

σx

(3.24).

Die Querdehnungen εy und εz sind negativ (Querkontraktionen). Sie stehen im direkten Zusammenhang mit der Längsdehnung εx. Proportionalitätsfaktor ist die Querdehnzahl ν, die sich
im Gültigkeitsbereich des HOOKEschen Gesetzes als Materialkonstante erweist. Für technische Werkstoffe liegen die Werte zwischen 0,25 und 0,36, wobei für Stahl ν = 0,3 gilt. Gummi
nimmt mit ν = 0,5 eine Sonderstellung ein. Weitere ν-Werte sind in Anhang A3 und in [4]
angegeben.

3.5.6 Volumendehnung
Bei der Verformung von technischen Bauteilen tritt i. Allg. eine Volumenänderung ein. Die
Volumendehnung ergibt sich als Dehnungssumme e der Dehnungen εx, εy und εz in x-, y- und
z-Richtung:
e=

ΔV
= εx + ε y + εz
V

(3.25).

ΔV ist hierbei die Volumenänderung und V das Volumen des Körpers. Für den Zugstab in Bild
3-15, Kapitel 3.5.5, ergibt sich eine Volumendehnung von
e = ε x + ε y + ε z = ε x − ν ⋅ ε x − ν ⋅ ε x = (1 − 2ν ) ⋅ ε x

(3.26).

Man erkennt, dass die Volumendehnung u. a. von der Querdehnzahl abhängt. Für technische
Werkstoffe mit ν = 0,25...0,36 ergibt sich somit bei elastischer Verformung eine Volumendehnung. Nur für Gummi und für Flüssigkeiten ist e = 0.

3.5.7 HOOKEsches Gesetz bei Schub
Infolge von Schubbelastungen treten Winkeländerungen und somit Schubverformungen auf,
die auch Schiebungen genannt werden, Kapitel 3.4.2.
Der Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ und der Schubverformung γ wird durch
das HOOKEsche Gesetz für Schubbelastung beschrieben:

τ = G ⋅γ

(3.27).

G ist hierbei der Schubmodul mit der Einheit N/mm² oder MPa. Er steht über die Gleichung
G=

E
2 ⋅ (1 + ν )

(3.28)

3.5 Zusammenhänge zwischen Spannungen und Verzerrungen: Stoffgesetze

27

in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Elastizitätsmodul E (siehe Kapitel 3.5.4 und Anhang A1). Für Stähle und viele Metalle ist ν ≈ 0.3 und somit
G≈

3
E
8

(3.29).

Man erkennt, ein isotroper, elastischer Körper hat zwei unabhängige Materialkonstanten, nämlich E und G oder E und ν.

Beispiel 3-1
A
F

l

Ein Stab aus Stahl mit der Länge l und der Querschnittsfläche A ist mit einer Kraft F belastet.
Man bestimme für den belasteten Stab:
a) die wirkende Spannung σ,
b) die Dehnung ε und die Stabverlängerung Δl,
c) die Querdehnung εq und
d) die Volumendehnung.
Wie ändern sich die Werte, wenn der Stahlstab durch einen Stab aus Aluminium ersetzt
wird?
geg.: F = 16 kN, A = 100 mm², l = 1 m, EStahl = 210000 N/mm², EAluminium = 70000 N/mm²,
νStahl = 0,3, νAluminium = 0,34
Lösung:
a) Wirkende Spannung σ
Stahl:

σ=

N
F 16000 N
=
= 160
2
A 100 mm
mm 2

Aluminium:

σ=

N
F
= 160
A
mm 2

b) Dehnung ε und Stabverlängerung Δl
Stahl:

ε=

σ
E

=

160 N/mm 2
210000 N/mm 2

= 0,00076 = 0,76 ‰

ǻl = ε ⋅ l = 0,00076 ⋅ 1000mm = 0,76 mm

28

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

ε=

Aluminium:

σ
E

=

160 N/mm 2
70000 N/mm 2

= 0,0023 = 2,3 ‰

ǻl = ε ⋅ l = 0,0023 ⋅ 1000mm = 2,3 mm

c) Querdehnung εq
Stahl:

ε q = −ν ⋅ ε = −

Aluminium:

ε q = −ν ⋅ ε = −

ν
E

ν
E

⋅σ = −

0,3 ⋅ 160 N/mm 2
210000 N/mm 2

= −0,00023 = −0,23 ‰

⋅ σ = −0,00078 = −0,78 ‰

d) Volumendehnung e
Stahl:

e = (1 − 2ν ) ⋅ ε x = (1 − 2 ⋅ 0,3) ⋅ 0,76 ‰ = 0,30 ‰

Aluminium:

e = (1 − 2ν ) ⋅ ε x = (1 − 2 ⋅ 0,34 ) ⋅ 2,3 ‰ = 0,73 ‰

Beispiel 3-2

***

F1

b

Ein Stahlstab mit einer kreisförmigen Querschnittsfläche,
Durchmesser d, ist durch die Kräfte F1 und F2 belastet.

F2

Man bestimme
a) die Normalkräfte im gesamten Stab,
b) die Spannungen in den Stabbereichen,

a

d

c) die Gesamtverkürzung des Stabs und
d) die maximale Dickenänderung.

geg.: F1 = F, F2 = 2F, F = 50 kN, a = 0,5 m, b = 0,3 m, d = 50 mm, E = 210000 N/mm²,
ν = 0,3
Lösung:
a) Normalkräfte im gesamten Stab
Bereich I: 0 < x < b

Bereich II:

F1

↓ : N I + F1 = 0
x

b<x<a+b

F1

Ÿ N I = − F1 = −50 kN

x

F2

↓:

N II + F1 + F2 = 0

Ÿ

N II = −(F1 + F2 )
= −(50 kN + 100 kN )
= −150 kN

NI

NII

3.6 Wärmedehnung und Wärmespannung

29

b) Spannungen in den einzelnen Stabbereichen
Bereich I:

σI =

N
N I − F1
−50000 N
=
=
= −25,5
2
A
A
mm 2
1963,5 mm

Bereich II:

σ II =

N II − (F1 + F2 ) − 150000 N
N
=
=
= −76,4
2
A
A
1963,5 mm
mm 2

c) Stabverkürzung Δl
ǻl = ǻl I + ǻl II = ε I ⋅ l I + ε II ⋅ l II =
=

− 25,5 N/mm 2
210000 N/mm 2

⋅ 300 mm +

σI
E

⋅b +

σ II
E

⋅a

− 76,4 N/mm 2
210000 N/mm 2

⋅ 500 mm = -0,22 mm

d) maximale Dickenänderung

ε qII = −

ν
E

⋅ σ II = −

§
N
⋅ ¨¨ − 76,39
210000 N/mm ©
mm 2
0,3

2

·
¸¸ = 0,00011 = 0,11 ‰
¹

Δd II = ε qII ⋅ d = 0,00011 ⋅ 50 mm = 0,0055 mm

3.6 Wärmedehnung und Wärmespannung
Jedes Material dehnt sich bei Erwärmung aus. Es vergrößert sein Volumen, sofern es nicht an
seiner Ausdehnung gehindert wird. Wird ein Stab, Bild 3-16, um ΔT erwärmt und kann er sich
frei ausdehnen, so entsteht eine Stabverlängerung Δl und somit eine Wärmedehnung εT.

Bild 3-16 Stabverlängerung infolge einer Erwärmung

Diese errechnet sich mit dem Wärmeausdehnungskoeffizienten αT und der Temperaturdifferenz ΔT:

ε T = α T ⋅ ΔT

(3.30).

Der Wärmeausdehnungskoeffizient αT ist materialabhängig. Er beträgt für Stahl im Mittel
1,2 ⋅ 10 −5 K -1 , für Aluminiumlegierungen 2,4 ⋅ 10 −5 K -1 und für Plexiglas 7 ⋅ 10 −5 K -1 (Werte
für weitere Materialien sind im Anhang A3 und in [4] zu finden).

30

3 Spannungen, Verzerrungen, Stoffgesetze

Die Temperaturdifferenz ΔT wird in Kelvin, abgekürzt K, angegeben. Ausgehend von der
Dehnungsdefinition in Gleichung (3.20) erhält man die erwärmungsbedingte Längenänderung
Δl des Stabs in Bild 3-16:
Δl = ε T ⋅ l = l ⋅ α T ⋅ ΔT

(3.31).

Wärmedehnungen können auch elastischen Dehnungen überlagert sein. In diesem Fall ergibt
sich eine Gesamtdehnung εges aus der elastischen Dehnung ε und der thermischen Dehnung εT:

ε ges = ε + ε T

(3.32).

Wird die Wärmedehnung eines Körpers nicht behindert, so entstehen keine Wärmespannungen. Diese treten nur auf, wenn sich der Körper oder der Stab nicht ausdehnen kann, Bild 3-17.

Bild 3-17 Entstehung von Wärmespannungen infolge von Temperaturerhöhung und Verformungsbehinderung
a) Eingespannter Stab kann sich bei Erwärmung nicht ausdehnen
b) Freigeschnittener Stab mit der Wärmespannung σT und der Stabkraft FT, die bei der Erwärmung um ΔT entstehen

In diesem Fall tritt keine Längenänderung und keine Gesamtdehnung auf. Somit gilt mit Gleichung (3.32)

ε ges = ε + ε T = 0

(3.33).

Mit ε = σT / E nach dem HOOKEschen Gesetz, Gleichung (3.22), und Gleichung (3.30) erhält
man

σT
E

+ α T ⋅ ΔT = 0

und daraus die Wärmespannung

σ T = − E ⋅ α T ⋅ ΔT

(3.34)

σ T = −E ⋅ εT

(3.35).

oder

Bei Staberwärmung entsteht also eine Druckspannung (siehe auch Bild 3-17b). In Anlehnung
an Gleichung (3.2), Kapitel 3.1, ergibt sich somit bei Erwärmung eine Druckkraft
FT = A ⋅ σ T = − E ⋅ A ⋅ α T ⋅ ΔT

im Stab, Bild 3-17b.

(3.36)

3.6 Wärmedehnung und Wärmespannung

31

Beispiel 3-3
ΔT

Eine Rohrleitung wird mit einer Kraft F belastet. Gleichzeitig ändert sich die Temperatur
um ΔT.

F

Man bestimme die Längenänderung des
Rohrs für die Fälle, dass das Rohr aus Stahl,
einer Aluminiumlegierung oder einer Magnesiumlegierung hergestellt ist.

l

geg.: F = 5 kN, l = 300 mm, A = 50 mm², αT,Stahl = 1,2·10-5 K-1, αT,Al = 2,4·10-5 K-1,
αT,Mg = 2,6·10-5 K-1,
EStahl = 210000 N/mm²,
EAl = 70000 N/mm²,
EMg = 44000 N/mm², ΔT = 40 K
Lösung:
Längenänderung:
Stahl:

ǻl =

ǻl = ε ⋅ l + ε T ⋅ l =

σ
E

⋅ l + l ⋅ α T ⋅ ǻT =

5000 N ⋅ 300 mm
2

50 mm ⋅ 210000 N/mm

Al-Legierung: ǻl =
Mg-Legierung: ǻl =

2

+ 300 mm ⋅ 1,2 ⋅ 10 -5 K -1 ⋅ 40 K = 0,29 mm

5000 N ⋅ 300 mm
2

50 mm ⋅ 70000 N/mm

2

+ 300 mm ⋅ 2,4 ⋅ 10 -5 K -1 ⋅ 40 K = 0,72 mm

2

+ 300 mm ⋅ 2,6 ⋅ 10 -5 K -1 ⋅ 40 K = 0,99 mm

5000 N ⋅ 300 mm
2

F
⋅ l + l ⋅ α T ⋅ ǻT
A⋅ E

50 mm ⋅ 44000 N/mm

Beispiel 3-4

l

Ein Stahlträger der Länge l ist an seinen Enden fest mit einem Mauerwerk verbunden.
Infolge von Temperaturschwankungen wird
er im Extremfall um ΔT erwärmt.

Man bestimme die infolge der Temperaturerhöhung entstehende Wärmespannung σT (das
Mauerwerk kann als starr angesehen werden) und die entstehende Druckkraft im Träger bei
einem Trägerquerschnitt A.
geg.: EStahl = 210000 N/mm2, αT, Stahl = 1,2 ·10-5 K-1, ΔT = 50 K, A = 2530 mm2
Lösung:
Wärmespannung:

σ T = − EStahl ⋅ α T, Stahl ⋅ ǻT = −210000 N/mm 2 ⋅ 1,2 ⋅ 10 −5 K -1 ⋅ 50 K = −126 N/mm 2
Kraft im Träger: FT = A ⋅ σ T = 2530 mm 2 ⋅ (−126 N/mm 2 ) = −318,78 kN

32

4 Stäbe und Stabsysteme
Stäbe und statisch bestimmte Stabsysteme werden bereits in Band 1: Technische Mechanik.
Statik [1] behandelt. Dort sind Stäbe als Einzelkomponenten von Tragwerken definiert, die
Zug- und Druckkräfte in Stabrichtung aufnehmen können, Kapitel 5.1.2 in [1]. Mit den Methoden der Statik konnten dann die Normalkraft bzw. die Normalkraftverläufe im Stab bestimmt werden. Als statisch bestimmtes Stabsystem kann z. B. ein Fachwerk angesehen werden, Kapitel 7 in [1], das aus Stäben aufgebaut ist, die idealerweise mit reibungsfreien Gelenken miteinander verbunden sind. Für Fachwerke können mit den Methoden der Statik die Auflagerreaktionen und die Stabkräfte ermittelt werden.
Im Rahmen der Festigkeitslehre interessiert nun: Welche Spannungen werden in den Stäben
übertragen? Welche Verformungen entstehen bei Belastung? Wie lassen sich statisch unbestimmte Stabprobleme lösen?

4.1 Spannungen und Verformungen bei Stäben
Bei Stäben hängen die Spannungen und Verformungen von unterschiedlichen Gegebenheiten
ab. So erhält man bei Stäben mit konstantem Querschnitt, Stäben mit veränderlichem Querschnitt und Stäben, bei denen die Belastung über die Stablänge veränderlich ist, jeweils andere
Ergebnisse. Daher werden diese Fälle im Nachfolgenden getrennt behandelt.

4.1.1 Stäbe mit konstanter Normalkraft und konstantem Querschnitt
Bei dem Stab in Bild 4-1 liegt eine über die Stablänge konstante Normalkraft N(x) = N = F und
ein konstanter Stabquerschnitt A(x) = A vor. In diesem Fall errechnet sich die Normalspannung
nach Gleichung (3.2) mit der wirkenden Last F und der Querschnittsfläche A:
F
σ= .
A
Die Spannung ist konstant über den Querschnitt und die Stablänge.

Bild 4-1 Stab mit konstanter Normalkraft N(x) = F und konstantem Querschnitt A

Die Dehnung im Stab ist dann entsprechend dem HOOKEschen Gesetz bei Zug, Kapitel 3.5.4,
ebenfalls über den Querschnitt und die Stablänge konstant. Sie errechnet sich mit den Gleichungen (3.20), (3.22) und (3.8):

ε=

ǻl σ
F
= =
l
E E⋅A

(4.1).

4.1 Spannungen und Verformungen bei Stäben

33

Durch Umstellen von Gleichung (4.1) erhält man die Längenänderung Δl des Stabes, Bild 4-1:
Δl =

F ⋅l
E⋅A

(4.2).

Die Längenänderung ist somit abhängig von der wirkenden Kraft F, der Stablänge l, dem Elastizitätsmodul E des Stabmaterials und der Querschnittsfläche A des Stabs. Das Produkt E · A
nennt man auch Dehnsteifigkeit.
Ein elastischer Stab ist vergleichbar mit einer Feder (z. B. Spiralfeder). Bei Federn wird die
Nachgiebigkeit durch die Federkonstante c definiert. Die Federverlängerung Δl lässt sich dann
aus der Federkraft F und der Federkonstanten mit der Beziehung
Δl =

F
c

(4.3)

berechnen. Vergleicht man nun Gleichung (4.3) mit Gleichung (4.2), so erhält man für den
Stab mit konstanter Normalkraft und konstantem Querschnitt die Federkonstante
c=

E⋅A
l

(4.4).

4.1.2 Stäbe mit veränderlichem Querschnitt
Bei dem Stab in Bild 4-2 liegt eine konstante Normalkraft N(x) = F und eine über die Stablänge veränderliche Querschnittsfläche A(x) vor. Ist die Funktion A(x) bekannt, z. B.
A(x) = f(A0, A1, x), so errechnet sich die Spannung σ(x) mit der Beziehung

σ ( x) =

F
A( x)

(4.5).

Die Spannung im Stabquerschnitt verändert sich entsprechend der Querschnittsänderung über
die Stablänge. Sie ist maximal an der Stelle mit dem geringsten Querschnitt.

Bild 4-2 Stab (oder Scheibe) mit konstanter Normalkraft N(x) = F und veränderlichem Querschnitt A(x)

Die Dehnung im Stab lässt sich mit dem HOOKEschen Gesetz bei Zug, Kapitel 3.5.4, aus der
Spannung σ(x) ermitteln:

ε ( x) =

σ ( x)
E

(4.6).

Ist ε(x) eine stetige Funktion und somit integrierbar, so kann die gesamte Längenänderung des
Stabs in Anlehnung an Gleichung (3.18) ermittelt werden:

34

4 Stäbe und Stabsysteme
l

Δl =

³

1
ε ( x)dx = ⋅
E

x =0

l

³ σ ( x)dx

(4.7).

x =0

Die Federkonstante errechnet sich aus der Kraft F und der Längenänderung Δl mit
c=

F
Δl

(4.8),

wobei für Δl das Ergebnis der Integration nach Gleichung (4.7) einzusetzen ist.

Beispiel 4-1

***
4a

F

2a

F

8a

8a

Der gezeichnete Flachstab ist, wie dargestellt, durch die Kraft F belastet. Man bestimme die
Spannung und die Dehnung im Stab sowie die Gesamtverlängerung des Stabs.
geg.: F, a, Dicke t = a
Lösung:

4a

F

F

2a

Die Stabverlängerung ergibt sich aus
den Verlängerungen der Teilbereiche:
ǻl = ǻl1 + ǻl2 mit ǻl1 = ǻl2

x
8a

a) Ermittlung von A(x): A( x) = m ⋅ x + n
A( x = 0) = 2a ⋅ t = 2a 2 = n
A( x) =

A( x = 8a) = 4a 2 = m ⋅ 8a + 2a 2

Ÿ

m=

1
a
4

1
a ⋅ x + 2a 2
4

b) Spannung im Stab

σ (x ) =

F
F
=
A( x) 0,25a ⋅ x + 2a 2

σ (x = 0) =

F
2a 2

σ ( x = 8a ) =

F
4a 2

σ(x)
0,5F/a 2
0,25F/a 2
0

8a

16a

x

4.1 Spannungen und Verformungen bei Stäben

35

b) Dehnung im Stab

ε ( x) =

σ ( x)
E

=

F
F
=
E ⋅ A( x) E ⋅ (0,25a ⋅ x + 2a 2 )

c) Stabverlängerung des ersten Teilbereichs
ǻl1 =

8a

³ ε ( x)dx =

x =0

8a
4 F 8a dx
4F
4F
ln x + 8a
ln 2
=
=
0
E⋅a
x + 8a E ⋅ a
E⋅a

[

³

]

x =0

c) Gesamtverlängerung des Stabs:
8F
ǻl = 2 ⋅ Δl1 =
ln 2
E⋅a

4.1.3 Stäbe mit veränderlicher Belastung
Betrachtet werden Stäbe mit abschnittsweise und kontinuierlich veränderlicher Belastung.

4.1.3.1

Stäbe mit abschnittsweise veränderlicher Belastung

Für Stäbe, bei denen über die Stablänge mehrere Einzelkräfte wirken (Mehrbereichsproblem,
siehe Abschnitt 5.6.4 in [1]), lassen sich die Normalkräfte Ni, die Spannungen σi, die Dehnungen εi und die Stabverlängerungen Δli in den Abschnitten i = I, II, ..., n bestimmen.
Demnach gilt:

σi =

Ni
,
A

εi =

σi
E

und

Δli =

N i ⋅ li
E⋅A

(4.9).

Die Gesamtverlängerung des Stabs errechnet sich dann mit
n

ǻl = ¦ ǻli

(4.10),

i=I

siehe auch Beispiel 3-2.
Neben den Stäben mit abschnittsweise veränderlicher Belastung existieren auch Stäbe mit
kontinuierlich veränderlicher Belastung. Diese ergibt sich, wenn man den Einfluss von Volumen- oder Massenkräften (siehe Kapitel 2.1 in [1]) berücksichtigt. Im Folgenden werden daher
Stäbe mit Schwerkraft- und Fliehkrafteinfluss untersucht.

4.1.3.2

Stäbe mit Schwerkrafteinfluss

Betrachtet wird ein Stab, Bild 4-3a, der lediglich durch die Schwerkraft, d.h. sein Eigengewicht, belastet ist. Mit dem Teilvolumen
V ( x) = A ⋅ x

(4.11),

36

4 Stäbe und Stabsysteme

des Stabs, Bild 4-3b, und dem spezifischen Gewicht γ = ρ ⋅ g (ρ: Dichte, g: Schwerebeschleunigung) des Stabmaterials erhält man das Teilgewicht
G ( x) = V ( x) ⋅ γ = A ⋅ x ⋅ γ

und somit die Normalkraft
N ( x) = G ( x) = A ⋅ γ ⋅ x

(4.12),

Bild 4-3c. Diese steigt mit der Stabkoordinate x (Höhe) linear an. Die maximale Normalkraft
Nmax im Stab entspricht dabei dem Gesamtgewicht Gges des Stabs
N max = N ( x = l ) = Gges = A ⋅ l ⋅ γ .

Mit der Normalkraft N(x) und der Querschnittsfläche A ergibt sich (nach Gleichung (3.2)) die
Spannung

σ ( x) =

N ( x)
=γ ⋅x
A

(4.13),

Bild 4-3d. Die Dehnung lässt sich mit dem HOOKEschen Gesetz bei Zug, Gleichung (3.22),
wie folgt berechnen:

σ ( x) γ
= ⋅x
E
E

ε ( x) =

(4.14).

Bild 4-3 Stab unter Schwerkrafteinfluss
a) Stab mit konstanter Querschnittsfläche A, spezifischem Gewicht γ und Elastizitätsmodul E
b) Teilstück des Stabs der Länge x mit dem Teilvolumen V(x), dem Teilgewicht G(x) und der
Normalkraft N(x)
c) Normalkraft N(x) im Stab infolge der Eigengewichtsbelastung
d) Normalspannung σ(x) im Stab infolge des Eigengewichts des Stabs

Die Längenänderung Δl des Stabs erhält man nach Gleichung (3.18) mit der Beziehung
l

ǻl =

³ ε ( x) dx =

x =0

γ
E

l

⋅

³ x dx =

x=0

γ ⋅l2
2E

(4.15).

4.1 Spannungen und Verformungen bei Stäben

37

Spannung und Dehnung nehmen mit der Koordinate x linear zu, siehe z. B. Bild 4-3d. Die
maximale Spannung tritt am oberen Stabende, d. h. bei x = l, auf und beträgt

σ max = γ ⋅ l

(4.16).

Durch Vergleich mit der Zugfestigkeit Rm des Stabmaterials, siehe Kapitel 3.5.1 und Anhang
A1, erhält man die Reißlänge
lR =

Rm

γ

(4.17).

Diese drückt aus, bei welcher Länge ein Stab unter reinem Schwerkrafteinfluss abreißen würde.

4.1.3.3

Stäbe mit Fliehkrafteinfluss

Bild 4-4 zeigt einen rotierenden Stab unter Fliehkrafteinfluss. Die Fliehkraft (Zentrifugalkraft)
errechnet sich mit der Beziehung
Fz = m ⋅ r ⋅ ω 2

(4.18),

(siehe auch Kapitel 2.1 in [1]). Für das Teilvolumen V ( x) = A ⋅ x ergibt sich mit der Dichte ρ
des Stabmaterials die Teilmasse
m( x ) = V ( x ) ⋅ ρ = A ⋅ x ⋅ ρ

(4.19).

Bild 4-4 Stab unter Fliehkrafteinfluss
a) Stab rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die Achse B - B
b) Normalkraft N(x) im Stab infolge der Zentrifugalkraft (Fliehkraft)

In Gleichung (4.18) stellt r den Abstand des Schwerpunkts der Teilmasse von der Rotationsachse dar:
r =l−

x
,
2

Bild 4-4a. Mit der Rotationsgeschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) ω erhält man dann die
Fliehkraft
x·
§
Fz ( x) = A ⋅ x ⋅ ρ ⋅ ¨ l − ¸ ⋅ ω 2
© 2¹

und somit auch die Normalkraft

(4.20)

38

4 Stäbe und Stabsysteme
§
x 2 ·¸
N ( x ) = Fz ( x) = A ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ ¨ l ⋅ x −
¨
2 ¸¹
©

(4.21)

des Stabs. Daraus lassen sich die Spannung

σ ( x) =

§
N ( x)
x 2 ·¸
= ρ ⋅ω 2 ⋅ ¨l ⋅ x −
¨
A
2 ¸¹
©

(4.22)

und letztlich auch die Dehnung ε(x) im Stab und die Stabverlängerung Δl ermitteln.
Die maximale Spannung tritt an dem an der Rotationsachse befestigten Stabende, d. h. bei
x = l, auf:

σ max = σ ( x = l ) =

1
ρ ⋅ω 2 ⋅ l 2
2

(4.23).

4.2 Statisch bestimmte Stabsysteme
Besteht ein Tragwerk aus mehreren Stäben, so spricht man von einem Stabsystem. Ein Stabsystem ist statisch bestimmt, wenn man allein mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik
die Stabkräfte ermitteln kann. Aus den Stabkräften lassen sich dann auch die Spannungen in
den Stäben, die Stabverlängerungen und die Verschiebungen der Lastangriffspunkte errechnen. Dies soll für ein Stabsystem mit zwei Stäben, das durch eine Kraft F im Gelenkpunkt P
belastet ist, verdeutlicht werden, Bild 4-5a. Die Stabquerschnitte A1 = A2 = A und der Elastizitätsmodul E1 = E2 = E des Stabmaterials sind bekannt.

Bild 4-5 Ermittlung der Kräfte, Spannungen und Verformungen bei einem statisch bestimmten Stabsystem
a) Stabsystem mit zwei Stäben, das durch eine Kraft F belastet ist
b) Freischnitt des Lastangriffspunktes P mit den Stabkräften S1 und S2
c) Vergleich von verformtem und unverformtem Stabsystem

Die Stabkräfte S1 und S2, Bild 4-5b, lassen sich mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik, siehe Kapitel 2.4.4 und 4.1 in [1], ermitteln:

4.2 Statisch bestimmte Stabsysteme

39

← : S 1⋅ sin α − S 2 ⋅ sin α = 0

(4.24),

S 1⋅ cos α + S 2 ⋅ cos α − F = 0

↑:

(4.25).

Aus Gleichung (4.24) folgt S1 = S2 = S und mit Gleichung (4.25) ergibt sich
S = S1 = S 2 =

F
2 cos α

(4.26).

Mit den Stabkräften lassen sich nun die wirkenden Normalspannungen in den Stäben ermitteln.
In Anlehnung an Gleichung (3.2) gilt:

σ = σ1 = σ 2 =

S
F
=
A 2 A ⋅ cos α

(4.27).

Bei dem symmetrischen Stabsystem sind die Stablängen l1 und l2 gleich groß:
l = l1 = l2 =

a
.
cos α

Somit ergeben sich mit Gleichung (4.2) die Stabverlängerungen
ǻl = ǻl1 = ǻl2 =

S ⋅l
F ⋅a
=
E ⋅ A 2 E ⋅ A ⋅ cos 2 α

(4.28).

Die Verschiebung v des Lastangriffspunktes, Bild 4-5c, errechnet sich aus der Stabverlängerung Δl und dem Winkel α’ (mit α’ = α für kleine Verformungen):
v=

ǻl
F ⋅a
=
cos α 2 E ⋅ A ⋅ cos3 α

(4.29).

Bei den Fachwerken, die in [1] untersucht wurden, handelt es sich ebenfalls um statisch bestimmte Stabsysteme. Die Ermittlung der Stabkräfte erfolgt mit den Methoden der Statik, siehe
Kapitel 7.3 und 7.4 in [1]. Mit diesen Stabkräften lassen sich dann die Spannungen und Längenänderungen der Stäbe bestimmen, siehe z. B. Beispiel 4-2.

Beispiel 4-2

***
a

B

8
9

7
4

11

a) die Spannungen in den Stäben 1, 10 und
11 sowie
b) die Längenänderung der Stäbe 1, 10 und
11.

3
1

F

5
6

a

a/2

Bestimmen Sie für den skizzierten Wandkran,
der aus Stäben mit einer konstanten Querschnittsfläche A aufgebaut ist,

10

2

geg.: F = 25 kN, a = 2 m, A = 250 mm²,
E = 210000 N/mm2
A

40

4 Stäbe und Stabsysteme

Lösung:
a) Spannungen in den Stäben 1, 10 und 11
Stabkräfte: S1 = 25 kN, S10 = 50 kN, S11 = -56 kN (siehe Beispiel 7-3 in [1])

σ1 =

25 kN
S1
N
=
= 100
,
2
A 250 mm
mm 2

σ 10 =

50 kN
S10
N
=
= 200
2
A
250 mm
mm 2

−56 kN
S11
N
=
= −224
2
A
250 mm
mm 2

σ 11 =

b) Längenänderung der Stäbe 1, 10 und 11
Δl1 =

25 kN ⋅ 2 m
S1 ⋅ a
=
= 0,95 mm
E ⋅ A 210000 N/mm 2 ⋅ 250 mm 2

Δl10 =

Δl11 =

50 kN ⋅ 2 m
S10 ⋅ a
=
= 1,9 mm
E⋅A
210000 N/mm 2 ⋅ 250 mm 2

S11 ⋅ a 2 + (a / 2 )2
E⋅A

=

− 56 kN ⋅ 4 m 2 + 1 m 2
210000 N/mm 2 ⋅ 250 mm 2

= −2,4 mm

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme
Bei statisch unbestimmten Systemen reichen die Gleichgewichtsbedingungen zur Ermittlung
der Stabkräfte nicht aus. Es muss zusätzlich die Verformungsfähigkeit der Stäbe betrachtet
werden. Zur Ermittlung der gesuchten Größen stehen mit der Verschiebungsmethode und der
Superpositionsmethode zwei Konzepte zur Verfügung. Diese werden nachfolgend anhand
eines Stabsystems mit drei Stäben, die am gemeinsamen Gelenkpunkt durch eine Kraft F belastet sind, Bild 4-6a, verdeutlicht.

4.3.1 Verschiebungsmethode
Für das in Bild 4-6a gezeigte Stabsystem wird angenommen, dass die Querschnittsflächen aller
Stäbe gleich groß sind, d. h. A1 = A2 = A3 = A, und die Stäbe alle aus dem gleichem Material
bestehen, d. h. E1 = E2 = E3 = E.
Die Stablängen ergeben sich mit der Höhe a und dem Winkel α zu:
l1 = l3 =

a
,
cos α

l2 = a .

Die Lösung dieses Problems erfolgt mit der Verschiebungsmethode unter Berücksichtigung
der Gleichgewichtsbedingungen, der Stabverlängerungen und der Betrachtung der Zusammenhänge zwischen den Verformungen (Kinematik, Kompatibilität).

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme

41

Bild 4-6 Ermittlung der Kräfte und Verformungen bei einem statisch unbestimmten Stabsystem
a) Stabsystem mit drei Stäben, das durch eine Kraft F belastet ist
b) Freischnitt mit den Stabkräften S1, S2 und S3
c) Verformungen des Stabsystems

Für das freigeschnittene System erhält man mit den Gleichgewichtsbedingungen

← : S1 ⋅ sin α − S3 ⋅ sin α = 0
↑:

S1 ⋅ cos α + S 2 + S3 ⋅ cos α − F = 0

(4.30),
(4.31).

Aus Gleichung (4.30) ergibt sich
S1 = S3

(4.32)

und mit den Gleichungen (4.31) und (4.32) folgt
2S1 ⋅ cos α + S 2 = F

(4.33).

Zur Ermittlung der Stabkräfte S1 = S3 und S2 steht somit nur eine Gleichung für zwei Unbekannte zur Verfügung. Die Gleichgewichtsbedingungen reichen somit nicht aus, um die Stabkräfte zu ermitteln. Es handelt sich um ein einfach statisch unbestimmtes Stabsystem. Durch
Betrachtung der Stabverlängerungen, d. h. der Verformungsfähigkeit des Systems, und der
Zusammenhänge zwischen den Verformungen der Stäbe muss nun eine weitere Gleichung
gefunden werden, die in Verbindung mit Gleichung (4.33) die Ermittlung der Stabkräfte ermöglicht.
Die Stabverlängerungen der Stäbe ergeben sich mit dem HOOKEschen Gesetz in Anlehnung
an Gleichung (4.2).
Für Stab 1 und Stab 3 gilt somit
ǻl1 = ǻl3 =

S1 ⋅ l1
S1 ⋅ a
=
E1 ⋅ A1 E ⋅ A ⋅ cosα

(4.34)

und für Stab 2
ǻl2 =

S 2 ⋅ l2
S ⋅a
= 2
E2 ⋅ A2
E⋅A

(4.35).

42

4 Stäbe und Stabsysteme

Der Zusammenhang der Verformungen, d. h. die Kinematik bzw. die Kompatibilität des Systems, wird in Bild 4-6c deutlich. Demnach gilt:
ǻl1 = ǻl3 = ǻl2 ⋅ cosα '

(4.36).

Da die Verformungen i. Allg. sehr klein sind, ist α’ = α. Setzt man nun die Gleichungen (4.34)
und (4.35) in die Kompatibilitätsbedingung, Gleichung (4.36), ein, so ergibt sich
S1 ⋅ a
S ⋅a
= 2 ⋅ cos α
E ⋅ A ⋅ cos α
E⋅A

und daraus der Zusammenhang zwischen S1 und S2:
S1 = S 2 ⋅ cos 2 α

(4.37).

Mit den Gleichungen (4.37) und (4.33) erhält man
2S 2 ⋅ cos3 α + S 2 = F

und somit die Stabkraft S2:
S2 =

F

(4.38).

1 + 2 cos3 α

Gleichung (4.37) ergibt dann auch die Stabkräfte
S1 = S3 =

F ⋅ cos 2 α
1 + 2 cos3 α

(4.39).

Die Verschiebung v des Kraftangriffspunktes entspricht der Verlängerung von Stab 2:
v = ǻl2 =

F ⋅a
E ⋅ A ⋅ (1 + 2 cos 3 α )

(4.40).

Mit dieser Methode können also die Stabkräfte und daraus die Spannungen σ1 = σ3 = S1/A,
σ2 = S2/A, die Stabverlängerungen Δl1 = Δl3 und Δl2 sowie die Verschiebung ν des Kraftangriffspunktes ermittelt werden.
Zur Anwendung kommen kann aber auch die Superpositionsmethode, die nachfolgend beschrieben wird.

4.3.2 Superpositionsmethode
Auch diese Methode soll an dem in Bild 4-6a gezeigten Stabsystem verdeutlicht werden. Es
handelt sich um ein einfach statisch unbestimmtes System mit einer statisch überzähligen Stabkraft, z. B. S2 in Bild 4-7a. Die statisch überzählige Kraft wird als unbekannte Größe mit X
bezeichnet. Bei der Superpositionsmethode überlagert man nun die Verformungen, die sich für
die statisch bestimmten Systeme, Bild 4-7b, c und d, ergeben.
Als statisch bestimmtes Grundsystem gilt dann das Stabsystem, das aus den Stäben 1 und 3
besteht (hier lässt man den Stab, in dem die statisch überzählige Kraft X wirkt, weg). Für das
statisch bestimmte Grundsystem werden die Verschiebungen vF und vX des Lastangriffspunktes

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme

43

P für die Belastung mit der äußeren Kraft F und die Belastung mit der statisch Überzähligen X
ermittelt.
Die Belastung des Stabs 2 mit der statisch Überzähligen X liefert die Verlängerung Δl2 des
Stabs. Die Kompatibilität bzw. die Kinematik (Geometrie) der Verformungen verlangt nun,
dass die Gesamtverlängerung vges des Grundsystems gleich der Stabverlängerung Δl2 des Stabs
2 ist.

Bild 4-7 Ermittlung der Stabkräfte und der Verformungen für ein statisch unbestimmtes Stabsystem
a) Freigeschnittenes System mit der äußeren Kraft F und den Stabkräften S1, S2 und S3, bei
dem die Stabkraft S2 als statisch überzählige Kraft X ausgewählt wurde
b) Statisch bestimmtes Grundsystem, bestehend aus den Stäben 1 und 3, belastet durch die
Kraft F, die zu einer Verschiebung des Kraftangriffspunktes P um vF führt
c) Statisch bestimmtes Grundsystem (Stäbe 1 und 3), belastet durch die statisch Überzählige
X, die den Kraftangriffspunkt P um vX verschiebt
d) Stab 2, belastet durch die statisch Überzählige X, mit der Stabverlängerung Δl2

Die Verschiebung vF des Grundsystems, Bild 4-7b, durch die Kraft F erhält man mit Gleichung
(4.29)
vF =

F ⋅a
2 E ⋅ A ⋅ cos 3 α

(4.41).

Die Verschiebung vX des Grundsystems, Bild 4-7c, durch die statisch Überzählige X ergibt
sich ebenfalls mit Gleichung (4.29):
vX =

X ⋅a
2 E ⋅ A ⋅ cos3 α

(4.42).

Die Stabverlängerung Δl2 des Stabs 2, Bild 4-7d, infolge der statisch überzähligen Kraft X,
errechnet sich mit Gleichung (4.2):
ǻl2 =

X ⋅a
E⋅A

(4.43).

Betrachtet man alle Verformungen, so erkennt man, dass die Gesamtverschiebung vges = vF –
vX des Grundsystems der Stabverlängerung Δl2 des Stabs 2 gleichzusetzen ist:

44

4 Stäbe und Stabsysteme
vges = vF − vX = ǻl2

(4.44).

Setzt man in diese kinematische Beziehung (Kompatibilitätsbedingung) die Verschiebungen
vF, vX und die Längenänderung Δl2 ein, so erhält man eine Gleichung, mit der sich die statisch
überzählige Kraft X ermitteln lässt:
F ⋅a
2 E ⋅ A ⋅ cos α
3

−

X ⋅a
2 E ⋅ A ⋅ cos α
3

=

X ⋅a
E⋅A

(4.45).

Aus Gleichung (4.45) folgt die Stabkraft X = S2:
X = S2 =

F

(4.46)

1 + 2 cos3 α

und mit Gleichung (4.33) ergeben sich die Stabkräfte S1 und S3:
S1 = S3 =

F ⋅ cos 2 α

(4.47).

1 + 2 cos3 α

Beispiel 4-3

***
A
2

1

3a

5a

2a

4a

2a

Eine Brücke mit einem Eigengewicht GB ist über die Pfeiler c und d sowie ein Festlager A
abgestützt. Die Brücke wurde bei einer Temperatur T0 montiert. Im Sommer erwärmt sich der
Pfeiler c um ΔT, während sich der Pfeiler d aufgrund der Umspülung eines Flusses nicht
erwärmt.
Bestimmen Sie unter Berücksichtigung des Eigengewichts der Brücke
a) die Kräfte in den Pfeilern c und d sowie
b) die entsprechenden Spannungen.
Bei den Betrachtungen kann die Brücke als unverformbar (starr) angesehen werden.
geg.: GB = 240 kN, a = 3 m, Stabquerschnitt: A = 10000 mm², ΔT = 40 K, αT = 1,2 · 10-5 K1
, E = 210000 N/mm²

4.3 Statisch unbestimmte Stabsysteme

45

Lösung:
Freischnitt:

Ay

GB

S2

S1

a) Kräfte in den Pfeilern c und d
Gleichgewichtsbedingung:

A : S 2 ⋅ 2a + S1 ⋅ 6a + GB ⋅ 4a = 0

Ÿ

S 2 = −3S1 − 2GB

(1)

Verformungen der Stäbe:
Stab 1:

S ⋅ 3a
+ 3a ⋅ α T ⋅ ǻT
ǻl1 = 1
E⋅A

Stab 2:

S ⋅ 5a
ǻl2 = 2
E⋅A

(Überlagerung von elastischer und
thermischer Verformung)

(2)
(3)

Kinematik:
ǻl1

ǻl2

2a

aus Strahlensatz folgt:

4a

ǻl1 ǻl2
=
6a
2a

Ÿ

2a

ǻl1 = 3ǻl2

Durch Einsetzen von (2) bzw. (3) und (1) in (4) ergibt sich
S1 ⋅ 3a
3 ⋅ (− 3S1 − 2GB ) ⋅ 5a
+ 3a ⋅ α T ⋅ ǻT =
E⋅A
E⋅A
Ÿ

5
1
S1 = − GB − E ⋅ A ⋅ α T ⋅ ǻT
8
16
5
1
N
= − ⋅ 240000 N − ⋅ 210000
⋅ 10000 mm 2 ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 5 K -1 ⋅ 40 K
8
16
mm 2
= −213 kN

Mit (1) folgt: S 2 = 159 kN
b) Spannungen in den Pfeilern c und d

σ1 =

−213 kN
N
S1
=
= −21,3
2
A 10000 mm
mm 2

σ2 =

159 kN
S2
N
=
= 15,9
2
A 10000 mm
mm 2

(4)

46

4 Stäbe und Stabsysteme

4.4 Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme
Elastische Stäbe können beliebig miteinander kombiniert werden. Je nach Kopplung kann das
Gesamtsystem mehr oder weniger verformbar sein. Wird das elastische Stabsystem, das auch
als Federsystem (siehe Abschnitt 4.1.1) angesehen werden kann, weicher, spricht man von
einer Reihenschaltung. Wird das System dagegen härter (weniger verformungsfähig) liegt eine
Parallelschaltung vor. Reihen- und Parallelschaltung von Stäben und Federsystemen sowie
auch Kombinationen davon werden nachfolgend beschrieben.

4.4.1 Reihenschaltung von Stäben
Bei der Reihenschaltung von Stäben, Bild 4-8, handelt es sich um ein statisch bestimmtes
Problem. Die am Stabsystem angreifende Kraft wirkt in beiden Stabteilen. Die Gesamtverformung des Systems ist größer als die Verformungen der einzelnen Stäbe. Dementsprechend ist
die Federkonstante des Gesamtsystems geringer als die Federkonstanten der Teilsysteme (Stäbe).

Bild 4-8 Reihenschaltung von Stäben
a) Stabsystem mit zwei Stäben in Reihenschaltung
b) Stab 1 (Länge l1, Querschnittsfläche A1, Elastizitätsmodul E1), belastet durch S1 = F, Stabverlängerung Δl1
c) Stab 2 (Länge l2, Querschnittsfläche A2, Elastizitätsmodul E2), belastet durch S2 = F, Stabverlängerung Δl2

Mit dem Schnittprinzip von EULER/LAGRANGE und der Anwendung von Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung lässt sich berechnen, dass die Stabkräfte in beiden Teilsystemen (Stäben) gleich groß, nämlich gleich der äußeren Kraft F, sind.
S1 = S 2 = F

(4.48).

In Anlehnung an Gleichung (4.2) errechnet sich die Stabverlängerung Δl1 für Stab 1
ǻl1 =

F ⋅ l1
E1 ⋅ A1

(4.49).

4.4 Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme

47

Da jeder elastische Stab auch als Feder angesehen werden kann, erhält man analog zu Gleichung (4.4) die Federkonstante für Stab 1
E ⋅A
c1 = 1 1
l1

(4.50).

Für Stab 2 gilt
ǻl 2 =

F ⋅ l2
E2 ⋅ A2

(4.51)

und
c2 =

E2 ⋅ A2
l2

(4.52).

Die Gesamtverlängerung Δl des Stabsystems ergibt sich nun als Addition der Stabverlängerungen Δl1 und Δl2:
ǻl = ǻl1 + ǻl2 =

F ⋅ l1
F ⋅ l2
+
E1 ⋅ A1 E2 ⋅ A2

(4.53).

Ausgehend von Gleichung (4.3) ergibt sich die Gesamtfederkonstante c mit der Kraft F und
der Gesamtverlängerung Δl
c=

F
=
ǻl

F

§ l
l2 ·
¸¸
F ⋅ ¨¨ 1 +
⋅
E
A
E
2 ⋅ A2 ¹
© 1 1

(4.54).

Durch Einsetzen der Federkonstanten c1 und c2, Gleichungen (4.50) und (4.52), erhält man
c=

1
1
1
+
c1 c2

(4.55)

bzw.
1 1
1
= +
c c1 c2

(4.56).

Bei zwei Federn lässt sich diese Gleichung wie folgt umformen
c ⋅c
c= 1 2
c1 + c2

(4.57).

Liegen Stabsysteme mit mehr als zwei in Reihe geschalteten Stäben (Gesamtzahl n) vor, gilt
für die Gesamtfederkonstante
1 n 1
=
c i =1 ci

¦

(4.58).

48

4 Stäbe und Stabsysteme

Bei Reihenschaltung wird somit die gesamte Feder weicher (verformbarer). Ist die Gesamtfederkonstante c bekannt, lässt sich, nach Gleichung (4.54), die Gesamtverlängerung des Stabsystems auch mit der Beziehung
ǻl =

F
c

(4.59)

ermitteln.

4.4.2 Parallelschaltung von Stäben
Bei der Parallelschaltung von Stäben, Bild 4-9a, handelt es sich um ein statisch unbestimmtes
System. Die am System angreifende Kraft teilt sich entsprechend den Elastizitäten der Stäbe
auf die Stäbe auf. Beim gekoppelten System ist die Gesamtverformung (Verschiebung des
Kraftangriffspunktes) der Längenänderung der Stäbe gleichzusetzen. Das Gesamtsystem verformt sich jedoch wesentlich weniger als ein durch die angreifende Kraft belasteter einzelner
Stab. Die Federkonstante des Gesamtsystems ist demnach größer als die Federkonstanten der
Teilsysteme (Stäbe).

Bild 4-9 Parallelschaltung von Stäben
a) Stabsystem aus zwei Stäben in Parallelschaltung (statisch unbestimmtes Stabsystem mit
Δl1 = Δl2 = Δl)
b) Stab 1 (Länge l1, Querschnittsfläche A1, Elastizitätsmodul E1), belastet durch S1, Stabverlängerung Δl1 = Δl
c) Stab 2 (Länge l2, Querschnittsfläche A2, Elastizitätsmodul E2), belastet durch S2, Stabverlängerung Δl2 = Δl

Für das Stabsystem in Bild 4-9a ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung in vertikaler Richtung
↑:

S1 + S 2 − F = 0

bzw.
S1 + S 2 = F

(4.60).

4.4 Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme

49

Dies bedeutet, allein mit den Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik lassen sich die
Stabkräfte nicht ermitteln. Es handelt sich somit um ein statisch unbestimmtes Problem. Daher
sind zusätzlich die Verformungen der Stäbe zu betrachten.
In Anlehnung an Gleichung (4.2) errechnet sich die Stabverlängerung Δl1 für Stab 1, Bild
4-9b, mit
S1 ⋅ l1
E1 ⋅ A1

ǻl1 =

(4.61).

Daraus erhält man durch Vergleich mit Gleichung (4.3) die Federkonstante
E ⋅A
c1 = 1 1
l1

(4.62)

und durch Umstellung von Gleichung (4.61) auch eine Beziehung für S1:
E ⋅A
S1 = 1 1 ⋅ ǻl1 = c1 ⋅ ǻl1
l1

(4.63).

Für Stab 2, Bild 4-9c, gilt analog
S 2 ⋅ l2
E2 ⋅ A2

ǻl 2 =

(4.64),

c2 =

E 2 ⋅ A2
l2

(4.65),

S2 =

E2 ⋅ A2
⋅ ǻl 2 = c 2 ⋅ ǻl 2
l2

(4.66).

Beim gekoppelten Stabsystem ergibt die Kinematik (Kompatibilität) der Verformung, siehe
Bild 4-9a:
ǻl = ǻl1 = ǻl2

(4.67),

d. h. die Gesamtverformung Δl des Systems ist gleich den Verformungen Δl1 und Δl2 der Teilsysteme. Zusätzlich gilt in diesem Beispiel, Bild 4-9a, l = l1 = l2.
In Anlehnung an Gleichung (4.3) gilt für die Gesamtfederkonstante
c=

F
ǻl

(4.68).

Mit Gleichung (4.60) und den Gleichungen (4.63) und (4.66) sowie Gleichung (4.67) erhält
man
c=

bzw.

S + S 2 (c1 + c2 ) ⋅ ǻl
F
= 1
=
ǻl
ǻl
ǻl

50

4 Stäbe und Stabsysteme
c = c1 + c2

(4.69).

Ist die Gesamtfederkonstante c bekannt, erhält man mit Gleichung (4.68) die Verschiebung des
Kraftangriffspunktes
v = ǻl =

F
c

(4.70)

und mit den Gleichungen (4.63) und (4.66) die Stabkräfte S1 und S2:
c
S1 = 1 ⋅ F
c

(4.71),

c
S2 = 2 ⋅ F
c

(4.72).

Liegen Stabsysteme mit mehr als zwei parallel geschalteten Stäben vor, gilt für die Gesamtfederkonstante
c=

n

¦ ci

(4.73).

i =1

c = c1 + c2

c1
⋅F
c
c
FB = S 2 = 2 ⋅ F
c
FA = S1 =

Bild 4-10

Parallelgeschaltetes Stabsystem

Bei Parallelschaltung wird die gesamte Feder also härter (weniger verformbar). Eine Parallelschaltung liegt daher auch bei dem Stabsystem in Bild 4-10 vor.

4.4.3 Kombinationen
Eine Kombination von Reihen- und Parallelschaltung existiert bei dem Stabsystem in Bild
4-11. Hierbei sind jeweils die Stäbe 1 und 2 sowie 3 und 4 in Reihe geschaltet, während das
System 1,2, bestehend aus den Stäben 1 und 2, mit dem System 3,4, bestehend aus den Stäben
3 und 4, parallelgeschaltet ist.
Für die Federkonstanten gilt somit
1
1
1
= +
,
c1,2 c1 c2

1
1
1
=
+
c3,4 c3 c4

und
c = c1,2 + c3,4 .

Die Stabkraft in den Stäben 1 und 2 und die Auflagerkraft FA ergibt sich mit

4.4 Reihen- und Parallelschaltung elastischer Stabsysteme

S1 = S 2 = FA =

c1,2
c

⋅F

und die Stabkraft in den Stäben 3 und 4 und die Auflagerkraft FB mit
S3 = S 4 = FB =

Bild 4-11

c3,4
c

⋅F .

Kombination von Reihen- und Parallelschaltung

51

52

4 Stäbe und Stabsysteme

Lösung:
Die Feder, die das Implantat darstellt und das Gesamtfedersystem des Knochens sind parallel
geschaltet.
N

Die Gleichgewichtsbedingung ist mit:
: N = NI + NK

(1)

erschöpft.
NI

NK

a) Teilfederkons